ベクトルの公式・用語まとめ

ベクトルの成分と大きさ

\(\vec a=(a_1,a_2)\) のとき \(|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

いつ使う？

成分で表されたベクトルの長さを求めます。空間でも成分の平方和を使います。

短い例

\(|(3,4)|=5\)

注意

ベクトルそのものと、その大きさを表す絶対値記号を区別します。

2点を結ぶベクトル

\(A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)\) なら \(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)\)

いつ使う？

始点から終点へ向かうベクトルの成分を求めます。

短い例

\(A(1,2),B(4,6)\) なら \(\overrightarrow{AB}=(3,4)\)

注意

終点の座標から始点の座標を引きます。

内分点の位置ベクトル

\(AP:PB=m:n\) なら \(\vec p=\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}\)

いつ使う？

2点を指定された比に内分する点の位置ベクトルを求めます。

短い例

中点なら \(\vec p=\dfrac{\vec a+\vec b}{2}\)

注意

各位置ベクトルへ掛ける比は、反対側の線分の比です。

内積

\(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2=|\vec a||\vec b|\cos\theta\)

いつ使う？

2つのベクトルのなす角や、垂直条件を求めます。

短い例

\((1,2)\cdot(3,4)=11\)

注意

内積の結果はベクトルではなく実数です。

平行・垂直条件

平行：\(\vec a=k\vec b\)、垂直：\(\vec a\cdot\vec b=0\)

いつ使う？

2つのベクトルや直線の位置関係を判定します。

短い例

\((1,2)\cdot(2,-1)=0\) なので垂直

注意

零ベクトルを含む場合は、平行の定義や問題の条件を確認します。

直線のベクトル方程式

点 \(\vec a\) を通り方向ベクトル \(\vec d\) に平行な直線は \(\vec p=\vec a+t\vec d\)

いつ使う？

平面・空間内の直線上の点を、媒介変数で表します。

短い例

\((1,2)\) を通り \((3,4)\) に平行なら \((x,y)=(1,2)+t(3,4)\)

注意

方向ベクトルは0でないベクトルを使います。

平面の方程式

法線ベクトル \(\vec n=(a,b,c)\)、通る点 \((x_0,y_0,z_0)\) なら \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\)

いつ使う？

空間内の平面を、法線ベクトルと1点から表します。

短い例

法線 \((1,2,3)\) で原点を通る平面は \(x+2y+3z=0\)

注意

平面内の方向ベクトルは、法線ベクトルと垂直です。

ベクトルによる三角形の面積

\(S=\dfrac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}\)

いつ使う？

2辺を表すベクトルの成分や内積から三角形の面積を求めます。

短い例

\(\vec a=(1,0),\vec b=(0,2)\) なら \(S=1\)

注意

2つのベクトルは、同じ頂点から出る2辺としてそろえます。