積分法の公式・用語まとめ

置換積分法

\(t=g(x)\) と置くと \(\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt\)

いつ使う？

合成関数とその内側の微分に近い因子がある積分を簡単にします。

短い例

\(\int2x\cos(x^2)\,dx=\sin(x^2)+C\)

注意

定積分では、積分区間も新しい変数へ変換します。

部分積分法

\(\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\)

いつ使う？

微分すると簡単になる関数と、積分しやすい関数の積を積分します。

短い例

\(\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C\)

注意

どちらを微分し、どちらを積分するかで計算量が変わります。

指数・対数関数の積分

\(\int e^x\,dx=e^x+C\), \(\int\dfrac1x\,dx=\log|x|+C\)

いつ使う？

指数関数や、1次式に反比例する形を積分します。

短い例

\(\int\dfrac1{2x+1}\,dx=\dfrac12\log|2x+1|+C\)

注意

対数の真数には絶対値を付けます。合成関数なら係数も調整します。

三角関数の積分

\(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\), \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\), \(\int\dfrac1{\cos^2x}\,dx=\tan x+C\)

いつ使う？

三角関数を含む式を積分します。

短い例

\(\int\sin2x\,dx=-\dfrac12\cos2x+C\)

注意

正弦の積分のマイナスと、内側の係数に注意します。

定積分の置換・部分積分

\(\int_a^b f(x)g'(x)\,dx=[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^bf'(x)g(x)\,dx\)

いつ使う？

定積分でも置換積分・部分積分を使って値を求めます。

短い例

置換積分では \(x=a,b\) に対応する新しい変数の端点を使う

注意

不定積分のように積分定数は付けません。

曲線間の面積

\(S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx\)

いつ使う？

2曲線で囲まれた部分の面積を求めます。

短い例

交点で区間を分け、各区間で上側から下側を引きます。

注意

区間の途中で上下関係が変わらないか確認します。

回転体の体積

\(x\) 軸回転：\(V=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx\)

いつ使う？

曲線とx軸で囲まれた部分をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求めます。

短い例

\(y=x\ (0\leq x\leq1)\) の回転体は \(V=\pi\int_0^1x^2dx=\pi/3\)

注意

回転軸から曲線までの距離が、円盤の半径になります。

曲線の長さ

\(L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx\)

いつ使う？

グラフ \(y=f(x)\) の \(x=a\) から \(x=b\) までの弧の長さを求めます。

短い例

直線 \(y=mx\) なら \(L=(b-a)\sqrt{1+m^2}\)

注意

面積の公式ではなく、微小な線分の長さを積み上げる公式です。

媒介変数表示の面積

\(x=x(t),y=y(t)\) なら \(\int y\,dx=\int y(t)x'(t)\,dt\)

いつ使う？

媒介変数で表された曲線と軸などで囲まれる面積を求めます。

短い例

媒介変数の増加方向によって積分値の符号が変わります。

注意

積分区間と曲線をたどる向きを確認し、面積が正になるようにします。