微分法の公式・用語まとめ

積と商の微分

\((fg)'=f'g+fg'\), \(\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\)

いつ使う？

2つの関数の積や商を微分します。

短い例

\((xe^x)'=e^x+xe^x\)

注意

積の微分を、単純に \(f'g'\) としないようにします。

合成関数の微分

\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}\)

いつ使う？

関数の中に別の関数が入っている形を微分します。

短い例

\((\sin x^2)'=2x\cos x^2\)

注意

外側を微分した後、内側の微分を掛けます。

三角関数の微分

\((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\), \((\tan x)'=\dfrac1{\cos^2x}\)

いつ使う？

三角関数を含む関数の導関数を求めます。

短い例

\((\sin3x)'=3\cos3x\)

注意

余弦の微分にはマイナスが付きます。

指数・対数関数の微分

\((e^x)'=e^x\), \((a^x)'=a^x\log a\), \((\log x)'=\dfrac1x\)

いつ使う？

指数関数・対数関数を含む関数を微分します。

短い例

\((e^{2x})'=2e^{2x}\), \((\log x^2)'=\dfrac2x\)

注意

合成関数なら内側の微分も掛けます。対数は真数の定義域を確認します。

逆関数の微分

\(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac1{dy/dx}\)

いつ使う？

逆関数や、\(x\) を \(y\) の関数として表した式を微分します。

短い例

\(y=\log x\) は \(x=e^y\) より \(dy/dx=1/x\)

注意

元の微分係数が0でない範囲で使います。

媒介変数表示の微分

\(x=f(t),y=g(t)\) なら \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)

いつ使う？

曲線が媒介変数 \(t\) で表されているとき、接線の傾きを求めます。

短い例

\(x=\cos t,y=\sin t\) なら \(dy/dx=-\cot t\)

注意

分母の \(dx/dt\) が0になる点は別に調べます。

対数微分法

\(y=f(x)^{g(x)}\) なら \(\log y=g(x)\log f(x)\) として両辺を微分

いつ使う？

変数を含む関数が、さらに変数を含む指数に上がっている形を微分します。

短い例

\(y=x^x\Rightarrow y'=x^x(\log x+1)\)

注意

対数を取るため、まず関数が正である範囲を考えます。

接線と法線

接線：\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)、法線の傾き：\(-\dfrac1{f'(a)}\)

いつ使う？

曲線上の点における接線と、それに垂直な法線を求めます。

短い例

接線の傾きが2なら法線の傾きは \(-1/2\)

注意

接線が水平・垂直になる場合は、法線の式を傾きだけで処理しないようにします。

第2次導関数と凹凸

\(f''(x)>0\) なら下に凸、\(f''(x)<0\) なら上に凸

いつ使う？

グラフの凹凸や変曲点の候補を調べます。

短い例

\(f''(x)\) の符号が変わる点は変曲点の候補

注意

\(f''(x)=0\) だけでは変曲点と断定せず、前後の符号を確認します。