極限の公式・用語まとめ

数列の極限の計算法則

\(a_n\to\alpha,b_n\to\beta\) なら \(a_n\pm b_n\to\alpha\pm\beta\), \(a_nb_n\to\alpha\beta\), \(\dfrac{a_n}{b_n}\to\dfrac\alpha\beta\ (\beta\ne0)\)

いつ使う？

収束する数列の和・差・積・商の極限を求めます。

短い例

\(\lim_{n\to\infty}(2+\frac1n)=2\)

注意

商では分母側の極限が0でないことを確認します。

無限大での基本極限

\(\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^p}=0\quad(p>0)\)

いつ使う？

分母の次数が大きくなる数列や関数の極限を求めます。

短い例

\(\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+1}{n}=3\)

注意

最高次数の項で分子・分母を割ると比較しやすくなります。

等比数列の極限

\(\lim_{n\to\infty}r^n=0\quad(|r|<1)\)

いつ使う？

公比の絶対値が1より小さい等比数列の極限を求めます。

短い例

\(\lim_{n\to\infty}(\frac12)^n=0\)

注意

\(r=1\) は1、\(r=-1\) は振動し、\(|r|>1\) では一般に収束しません。

無限等比級数

\(\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\dfrac{a}{1-r}\quad(|r|<1)\)

いつ使う？

初項 \(a\)、公比 \(r\) の無限等比級数の和を求めます。

短い例

\(1+\frac12+\frac14+\cdots=2\)

注意

和の公式を使う前に、必ず \(|r|<1\) を確認します。

三角関数の基本極限

\(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)

いつ使う？

三角関数を含む0/0型の極限を求めます。角は弧度法で扱います。

短い例

\(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}=3\)

注意

\(\dfrac{\sin3x}{x}=3\dfrac{\sin3x}{3x}\) のように形をそろえます。

自然対数の底e

\(e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}\)

いつ使う？

指数関数・対数関数の極限や微分へつながる定数 \(e\) を扱います。

短い例

\(\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\)

注意

1に近づく底を、無限大に近づく指数で累乗する形に注目します。

対数の基本極限

\(\lim_{x\to0}\dfrac{\log(1+x)}{x}=1\)

いつ使う？

自然対数を含む0/0型の極限を求めます。

短い例

\(\lim_{x\to0}\dfrac{\log(1+2x)}{x}=2\)

注意

ここで \(\log\) は自然対数です。真数が正になる範囲も確認します。

連続性

\(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) なら \(f(x)\) は \(x=a\) で連続

いつ使う？

グラフがその点で途切れずにつながっているかを判定します。

短い例

多項式関数はすべての実数で連続

注意

左極限・右極限・関数値の3つが一致することを確認します。