数学と社会生活の公式・用語まとめ

単利と複利

単利：\(A=P(1+nr)\)、複利：\(A=P(1+r)^n\)

いつ使う？

元金 \(P\)、期間ごとの利率 \(r\)、期間 \(n\) から将来の金額を求めます。

短い例

100万円を年利2％で3年複利運用すると \(100(1.02)^3\) 万円

注意

利率の単位と、複利計算を行う期間の単位をそろえます。

損益分岐点

販売価格を \(p\)、1個当たり変動費を \(v\)、固定費を \(F\) とすると損益分岐数量は \(\dfrac{F}{p-v}\)

いつ使う？

売上と総費用が等しくなり、利益が0になる販売数量を求めます。

短い例

\(F=100000,p=1500,v=500\) なら100個

注意

\(p-v\) は1個販売するごとに固定費の回収へ回る金額です。

変化率

\(変化率=\dfrac{変化後-変化前}{変化前}\times100\%\)

いつ使う？

価格、人口、売上などが基準から何％増減したかを表します。

短い例

100から120への変化率は20％。

注意

分母は変化前の値です。増加後の値で割らないようにします。

指数化

\(指数=\dfrac{比較する値}{基準時点の値}\times100\)

いつ使う？

異なる時点や地域の値を、基準を100として比較します。

短い例

基準年が80、比較年が100なら指数は125。

注意

どの時点を基準100としているかを確認します。

加重平均

\(\overline x=\dfrac{w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}\)

いつ使う？

人数や重要度が異なる複数の平均を、重みを考慮してまとめます。

短い例

20人の平均70点と30人の平均80点の全体平均は \(\dfrac{20\cdot70+30\cdot80}{50}=76\)

注意

平均値同士を単純に平均せず、それぞれの重みを掛けます。

期待値による比較

\(期待値=\sum(結果の値\timesその確率)\)

いつ使う？

不確実な複数の選択肢を、長期的な平均結果で比較します。

短い例

100円を確率0.6、0円を確率0.4で得るなら期待値は60円

注意

期待値だけでなく、損失の大きさやばらつきも判断材料になります。

最短経路

経路ごとの辺の重みの合計を比較し、合計が最小の経路を選ぶ

いつ使う？

距離、時間、料金などを重みとしたネットワークで最適な経路を求めます。

短い例

各地点までの暫定的な最短距離を小さい順に確定していく方法が使えます。

注意

距離と時間など、異なる単位の重みを混ぜないようにします。

制約条件付き最適化

制約を不等式で表し、実行可能領域内で目的関数の最大・最小を調べる

いつ使う？

材料・時間・予算に制限がある生産計画などを考えます。

短い例

2変数の一次式なら、実行可能領域の頂点で目的関数を比較します。

注意

数式上の最適解が、整数条件や現実の制約も満たすか確認します。