統計的な推測の公式・用語まとめ

期待値と分散

\(E(X)=\sum xp\), \(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)

いつ使う？

確率変数が取る値の中心と散らばりを求めます。

短い例

さいころの期待値は \(\dfrac{1+2+\cdots+6}{6}=3.5\)

注意

期待値は実際に1回の試行で出る値とは限りません。

期待値・分散の変換

\(E(aX+b)=aE(X)+b\), \(V(aX+b)=a^2V(X)\)

いつ使う？

確率変数を定数倍・平行移動したときの平均と分散を求めます。

短い例

\(E(X)=3,V(X)=4\) なら \(E(2X+1)=7,V(2X+1)=16\)

注意

定数を足しても分散は変わりません。定数倍は2乗して分散へ掛けます。

二項分布

\(P(X=k)={}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}\), \(E(X)=np\), \(V(X)=np(1-p)\)

いつ使う？

成功確率 \(p\) の独立な試行を \(n\) 回行うときの成功回数を扱います。

短い例

\(X\sim B(100,0.3)\) なら平均30、分散21

注意

各試行の成功確率が同じで、試行が独立であることを確認します。

正規分布の標準化

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) のとき \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)

いつ使う？

平均や標準偏差が異なる正規分布を、標準正規分布へ直します。

短い例

平均50、標準偏差10で \(X=70\) なら \(Z=2\)

注意

分母は分散ではなく標準偏差です。

標本平均の分布

\(E(\overline X)=\mu\), \(V(\overline X)=\dfrac{\sigma^2}{n}\), \(\sigma_{\overline X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)

いつ使う？

大きさ \(n\) の標本平均が、母平均の周りにどの程度散らばるかを求めます。

短い例

母標準偏差12、\(n=36\) なら標本平均の標準偏差は2

注意

標本サイズを4倍にすると、標準誤差は半分になります。

母平均の95％信頼区間

\(\overline x-1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\leq\mu\leq\overline x+1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)

いつ使う？

母標準偏差が既知の場合に、標本平均から母平均を区間推定します。

短い例

\(\overline x=100,\sigma=10,n=100\) ならおよそ \(100\pm1.96\)

注意

母標準偏差が未知の場合は、問題で指定された近似や方法に従います。

母比率の95％信頼区間

\(\widehat p\pm1.96\sqrt{\dfrac{\widehat p(1-\widehat p)}{n}}\)

いつ使う？

標本で観測された割合から、母集団全体の割合を区間推定します。

短い例

標本比率が0.4なら、標準誤差に \(\sqrt{0.4\cdot0.6/n}\) を使う

注意

正規近似が妥当な程度に標本サイズが大きいことを確認します。

仮説検定の判断

帰無仮説のもとで観測結果以上に極端な結果が起こる確率を \(p\) 値として評価する

いつ使う？

観測結果が偶然では説明しにくいかを、有意水準と比較して判断します。

短い例

有意水準5％で \(p<0.05\) なら帰無仮説を棄却する

注意

棄却できないことは、帰無仮説が正しいと証明したことではありません。