数列の公式・用語まとめ

等差数列の一般項

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

いつ使う？

初項 \(a_1\)、公差 \(d\) の等差数列の第 \(n\) 項を求めます。

短い例

\(3,7,11,\ldots\) なら \(a_n=3+4(n-1)=4n-1\)

注意

初項から第 \(n\) 項までは、公差を \(n-1\) 回加えます。

等差数列の和

\(S_n=\dfrac n2\{2a_1+(n-1)d\}=\dfrac n2(a_1+a_n)\)

いつ使う？

等差数列の初項から第 \(n\) 項までの和を求めます。

短い例

\(1+2+\cdots+10=\dfrac{10}{2}(1+10)=55\)

注意

最後の項が分かっているなら、初項と末項を使う形が便利です。

等比数列の一般項

\(a_n=a_1r^{n-1}\)

いつ使う？

初項 \(a_1\)、公比 \(r\) の等比数列の第 \(n\) 項を求めます。

短い例

\(2,6,18,\ldots\) なら \(a_n=2\cdot3^{n-1}\)

注意

初項から第 \(n\) 項までは、公比を \(n-1\) 回掛けます。

等比数列の和

\(S_n=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}\quad(r\ne1)\)

いつ使う？

等比数列の初項から第 \(n\) 項までの和を求めます。

短い例

\(1+2+4+8=\dfrac{1-2^4}{1-2}=15\)

注意

\(r=1\) のときはすべて同じ項なので \(S_n=na_1\) です。

シグマの基本公式

\(\sum_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}2\), \(\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\), \(\sum_{k=1}^n k^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}2\right\}^2\)

いつ使う？

自然数の累乗を含む数列の和をまとめて計算します。

短い例

\(1^2+2^2+3^2=\dfrac{3\cdot4\cdot7}{6}=14\)

注意

和の範囲と、代入する上端 \(n\) を確認します。

階差数列

\(b_n=a_{n+1}-a_n\) なら \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\quad(n\geq2)\)

いつ使う？

隣り合う項の差に規則性がある数列の一般項を求めます。

短い例

階差が \(b_k=2k\) なら \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}2k\)

注意

第 \(n\) 項までに足す階差は、第 \(n-1\) 項までです。

漸化式から和を取る形

\(a_{n+1}-a_n=f(n)\Rightarrow a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\)

いつ使う？

前の項との差が与えられた漸化式から一般項を求めます。

短い例

\(a_{n+1}=a_n+3\) なら等差数列で \(a_n=a_1+3(n-1)\)

注意

両辺を順に足すと、中間の項が打ち消し合います。

数学的帰納法

① \(n=1\) で成立　② \(n=k\) で成立すると仮定して \(n=k+1\) でも成立を示す

いつ使う？

自然数 \(n\) に関する命題がすべての \(n\) で成り立つことを証明します。

短い例

\(1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2\) の証明

注意

最初の成立確認と、次へつなぐ証明の両方が必要です。