微分法・積分法の公式・用語まとめ

微分係数

\(f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

いつ使う？

関数の \(x=a\) における瞬間の変化率と、接線の傾きを求めます。

短い例

\(f(x)=x^2\) なら \(f'(a)=2a\)

注意

平均変化率の区間を限りなく小さくした極限です。

多項式の微分

\((x^n)'=nx^{n-1}\), \((af+bg)'=af'+bg'\)

いつ使う？

多項式関数の導関数を計算します。

短い例

\((3x^3-2x+1)'=9x^2-2\)

注意

定数項の微分は0です。

接線の方程式

\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)

いつ使う？

曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((a,f(a))\) における接線を求めます。

短い例

\(y=x^2\) の \(x=1\) での接線は \(y-1=2(x-1)\)

注意

接点の座標と、その点での微分係数の両方を求めます。

増減と極値

\(f'(x)>0\) なら増加、\(f'(x)<0\) なら減少

いつ使う？

導関数の符号を調べて増減表を作り、極大値・極小値を求めます。

短い例

\(f'(x)\) が正から負へ変わる点で極大

注意

\(f'(x)=0\) だけでは極値とは限らず、前後の符号変化を確認します。

不定積分

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)\)

いつ使う？

微分すると元の関数になる関数を求めます。

短い例

\(\int(3x^2+2)\,dx=x^3+2x+C\)

注意

不定積分では積分定数 \(C\) を付けます。

定積分と微分

\(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\quad(F'=f)\)

いつ使う？

区間における関数の符号付き面積や、変化量を求めます。

短い例

\(\int_0^2x\,dx=[\frac{x^2}{2}]_0^2=2\)

注意

上端を代入した値から下端を代入した値を引きます。

曲線とx軸の間の面積

\(S=\int_a^b|f(x)|\,dx\)

いつ使う？

曲線と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を求めます。

短い例

区間内で \(f(x)<0\) なら \(-\int_a^bf(x)\,dx\) とする

注意

グラフがx軸を横切る点で区間を分け、面積が正になるようにします。

2曲線の間の面積

上側が \(f(x)\)、下側が \(g(x)\) なら \(S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx\)

いつ使う？

2つの曲線で囲まれた部分の面積を求めます。

短い例

最初に交点を求め、区間内でどちらが上かを確認します。

注意

『上－下』の順で積分します。途中で上下が変わるなら区間を分けます。