指数関数・対数関数の公式・用語まとめ

指数法則

\(a^ma^n=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\)

いつ使う？

指数を含む積・商・累乗を整理します。

短い例

\(2^3\cdot2^4=2^7\)

注意

底が同じときに指数をまとめられます。

0・負・有理数の指数

\(a^0=1\), \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\), \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\quad(a>0)\)

いつ使う？

指数を整数から有理数へ広げて計算します。

短い例

\(8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=4\)

注意

指数が負なら、値が負になるのではなく逆数になります。

対数の定義

\(a^p=M\iff\log_aM=p\quad(a>0,a\ne1,M>0)\)

いつ使う？

指数の等式を対数へ、対数の等式を指数へ書き換えます。

短い例

\(2^3=8\iff\log_28=3\)

注意

底は正で1ではなく、真数は正です。

対数の性質

\(\log_aMN=\log_aM+\log_aN\), \(\log_a\dfrac MN=\log_aM-\log_aN\), \(\log_aM^r=r\log_aM\)

いつ使う？

積・商・累乗を含む対数を分解したり、まとめたりします。

短い例

\(\log_22+\log_24=\log_28=3\)

注意

\(\log_a(M+N)\) を分解する公式はありません。

底の変換公式

\(\log_aM=\dfrac{\log_bM}{\log_ba}\)

いつ使う？

異なる底の対数を共通の底へそろえます。

短い例

\(\log_28=\dfrac{\log_{10}8}{\log_{10}2}=3\)

注意

分母は新しい底で元の底を表した対数です。

指数・対数関数の大小

\(a>1\) なら増加、\(0<a<1\) なら減少

いつ使う？

指数・対数を含む不等式を、底の範囲に応じて解きます。

短い例

\(0<a<1\) では \(a^x>a^y\iff x<y\)

注意

底が0と1の間なら、不等号の向きが逆になります。

常用対数と桁数

\(10^{n-1}\leq N<10^n\) なら正の整数 \(N\) は \(n\) 桁

いつ使う？

大きな数の桁数や、小数で初めて0でない数字が現れる位置を求めます。

短い例

\(3<\log_{10}N<4\) なら \(N\) は4桁

注意

対数の整数部分と桁数の関係を確認します。