三角関数の公式・用語まとめ

弧度法

\(180^\circ=\pi\ \mathrm{rad}\), \(l=r\theta\), \(S=\dfrac12r^2\theta\)

いつ使う？

角をラジアンで表し、弧の長さや扇形の面積を求めます。

短い例

\(60^\circ=\dfrac\pi3\ \mathrm{rad}\)

注意

弧の長さと面積の公式では、角をラジアンで使います。

三角関数の相互関係

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\), \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

いつ使う？

1つの三角関数の値から、ほかの値を求めます。

短い例

\(\sin\theta=\frac35\) なら \(\cos^2\theta=\frac{16}{25}\)

注意

角の範囲から符号を判断します。

加法定理

\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\), \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)

いつ使う？

角の和や差の三角関数を、既知の角の値で表します。

短い例

\(\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)

注意

余弦の公式では、括弧内と展開後の符号が反対になります。

2倍角の公式

\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\), \(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta\)

いつ使う？

角が2倍になった三角関数を、元の角で表します。

短い例

\(\sin\theta=\frac35,\cos\theta=\frac45\) なら \(\sin2\theta=\frac{24}{25}\)

注意

余弦の3つの形から、与えられた情報に合うものを選びます。

半角の公式

\(\sin^2\dfrac\theta2=\dfrac{1-\cos\theta}{2}\), \(\cos^2\dfrac\theta2=\dfrac{1+\cos\theta}{2}\)

いつ使う？

半分の角の三角関数や、三角関数の2乗を変形します。

短い例

\(\sin^215^\circ=\dfrac{1-\cos30^\circ}{2}\)

注意

平方根を取る場合は、角の範囲から正負を決めます。

三角関数の合成

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\), \(\cos\alpha=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\alpha=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\)

いつ使う？

正弦と余弦の和を1つの三角関数にまとめ、最大・最小や方程式を扱います。

短い例

\(\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)\)

注意

係数と \(\sin\alpha,\cos\alpha\) の対応を確認します。

周期

\(\sin x,\cos x\) の周期は \(2\pi\)、\(\tan x\) の周期は \(\pi\)

いつ使う？

グラフや方程式の解を、基本区間から全体へ広げます。

短い例

\(y=\sin2x\) の周期は \(\pi\)

注意

\(y=\sin kx\) の周期は \(\dfrac{2\pi}{|k|}\) です。