図形と方程式の公式・用語まとめ

2点間の距離

\(AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

いつ使う？

座標平面上の2点の距離を求めます。

短い例

\((0,0),(3,4)\) の距離は5

注意

座標の引く順番は、2乗するため統一されていれば構いません。

内分点

点 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) を \(m:n\) に内分する点は \(\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)

いつ使う？

線分を指定された比に分ける点の座標を求めます。

短い例

中点は \(m=n=1\) として \(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)

注意

点の座標に掛ける比は、反対側の線分の比です。

直線の方程式

\(y-y_1=m(x-x_1)\)

いつ使う？

傾き \(m\) で点 \((x_1,y_1)\) を通る直線を表します。

短い例

傾き2で \((1,3)\) を通る直線は \(y-3=2(x-1)\)

注意

垂直な直線は傾きで表せないため、\(x=a\) の形を使います。

点と直線の距離

点 \((x_0,y_0)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離は \(\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

いつ使う？

点から直線へ下ろした垂線の長さを求めます。

短い例

原点と \(3x+4y-10=0\) の距離は2

注意

分子に絶対値を付けます。

円の方程式

中心 \((a,b)\)、半径 \(r\) の円は \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

いつ使う？

円の中心と半径から方程式を作り、逆に式から中心と半径を読み取ります。

短い例

\((x-2)^2+(y+1)^2=9\) の中心は \((2,-1)\)、半径は3

注意

括弧内の符号と中心座標の符号は反対です。

円の接線

円 \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \((x_1,y_1)\) における接線は \(xx_1+yy_1=r^2\)

いつ使う？

原点を中心とする円上の点での接線を素早く求めます。

短い例

\(x^2+y^2=25\) の点 \((3,4)\) での接線は \(3x+4y=25\)

注意

指定された点が円上にあることを確認します。

軌跡の求め方

動点の座標を \((x,y)\) と置き、条件を \(x,y\) の方程式に直す

いつ使う？

条件を満たしながら動く点が描く図形を求めます。

短い例

2定点から等距離にある点の軌跡は、その2点を結ぶ線分の垂直二等分線。

注意

導いた方程式上のすべての点が元の条件を満たすか、逆の確認も行います。