複素数と方程式の公式・用語まとめ

虚数単位

\(i^2=-1\)

いつ使う？

負の数の平方根を含む数を表します。

短い例

\(\sqrt{-9}=3i\)

注意

\(i^3=-i,i^4=1\) と4乗ごとに繰り返します。

共役複素数と積

\(\overline{a+bi}=a-bi\), \((a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\)

いつ使う？

複素数の割り算で分母を実数にするときに使います。

短い例

\(\dfrac1{1+i}=\dfrac{1-i}{2}\)

注意

実部はそのまま、虚部の符号だけを変えます。

複素数まで含めた解の公式

\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

いつ使う？

判別式が負の場合も、平方根を \(i\) で表して解を求めます。

短い例

\(x^2+1=0\Rightarrow x=\pm i\)

注意

実数係数の二次方程式で虚数解が出ると、共役な2解になります。

解と係数の関係

\(ax^2+bx+c=0\) の2解を \(\alpha,\beta\) とすると \(\alpha+\beta=-\dfrac ba,\ \alpha\beta=\dfrac ca\)

いつ使う？

方程式を解かずに、2解の和や積を求めます。

短い例

\(x^2-5x+6=0\) の2解の和は5、積は6

注意

和にだけマイナスが付きます。

剰余の定理

多項式 \(P(x)\) を \(x-a\) で割った余りは \(P(a)\)

いつ使う？

割り算を実行せずに余りを求めます。

短い例

\(P(x)=x^2+1\) を \(x-2\) で割った余りは \(P(2)=5\)

注意

割る式が \(x+a\) なら代入する値は \(-a\) です。

因数定理

\(P(a)=0\iff P(x)\) は \(x-a\) を因数にもつ

いつ使う？

多項式の因数を見つけて、高次方程式を因数分解します。

短い例

\(P(2)=0\) なら \(P(x)\) は \(x-2\) で割り切れる

注意

整数係数なら、まず定数項の約数を候補として代入します。