式と証明の公式・用語まとめ

二項定理

\((a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}{}_nC_r a^{n-r}b^r\)

いつ使う？

高い次数の二項式を展開したり、特定の項の係数を求めたりします。

短い例

\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

注意

一般項の指数の和は常に \(n\) です。

多項式の除法

\(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\quad(\deg R<\deg B)\)

いつ使う？

多項式を別の多項式で割った商と余りを表します。

短い例

\(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)

注意

余りの次数は、割る式の次数より小さくなります。

恒等式の係数比較

\(ax^2+bx+c=px^2+qx+r\) が恒等式なら \(a=p,b=q,c=r\)

いつ使う？

文字のすべての値で成り立つ等式から、未知の係数を求めます。

短い例

\(ax+b=3x+2\) が恒等式なら \(a=3,b=2\)

注意

方程式は特定の値で成り立ち、恒等式はすべての値で成り立ちます。

相加平均・相乗平均

\(\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\quad(a,b\geq0)\)

いつ使う？

正の数の和や積が一定のとき、最大値・最小値を求めます。

短い例

\(x+\dfrac1x\geq2\quad(x>0)\)

注意

等号は \(a=b\) のときに成り立ちます。適用条件も確認します。

差を取る不等式の証明

\(A\geq B\) を示すには \(A-B\geq0\) を示す

いつ使う？

両辺の大小を直接比較しにくいとき、差を平方などの非負な形にします。

短い例

\(a^2+b^2\geq2ab\) は \((a-b)^2\geq0\) から分かる

注意

最後に等号成立条件も確認します。

3乗の展開と因数分解

\((a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3\), \(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)

いつ使う？

3次式を展開・因数分解して整理します。

短い例

\(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\)

注意

和・差の因数分解では、2つ目の括弧の中央の符号が反対になります。