平面上の曲線の公式・用語まとめ

放物線の標準形

\(y^2=4px\) の焦点は \((p,0)\)、準線は \(x=-p\)

いつ使う？

軸がx軸に平行な放物線の焦点・準線・開く向きを求めます。

短い例

\(y^2=8x\) なら焦点 \((2,0)\)、準線 \(x=-2\)

注意

\(x^2=4py\) なら軸はy軸に平行です。

楕円の標準形

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)\), \(c^2=a^2-b^2\)

いつ使う？

長軸がx軸上にある楕円の頂点と焦点 \((\pm c,0)\) を求めます。

短い例

\(x^2/25+y^2/9=1\) の焦点は \((\pm4,0)\)

注意

分母の大きい側が長軸です。焦点の関係は差を使います。

双曲線の標準形

\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\), \(c^2=a^2+b^2\)

いつ使う？

x軸方向に開く双曲線の頂点、焦点 \((\pm c,0)\)、漸近線を求めます。

短い例

\(x^2/9-y^2/4=1\) の焦点は \((\pm\sqrt{13},0)\)

注意

楕円と異なり、焦点の関係は和です。

双曲線の漸近線

\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の漸近線は \(y=\pm\dfrac ba x\)

いつ使う？

双曲線の枝が遠くで近づく2直線を求めます。

短い例

\(x^2/9-y^2/4=1\) なら \(y=\pm2x/3\)

注意

右辺を0と置いた式を因数分解すると漸近線が得られます。

曲線の平行移動

\(F(x,y)=0\) をx方向に \(p\)、y方向に \(q\) 移動すると \(F(x-p,y-q)=0\)

いつ使う？

中心や頂点が原点から移動した曲線の方程式を作ります。

短い例

\(x^2+y^2=1\) を \((2,3)\) 移動すると \((x-2)^2+(y-3)^2=1\)

注意

式へ代入する符号は、移動方向と反対に見えます。

円・楕円の媒介変数表示

円：\(x=r\cos t,y=r\sin t\)、楕円：\(x=a\cos t,y=b\sin t\)

いつ使う？

曲線上の点を1つの媒介変数で表します。

短い例

\(x=3\cos t,y=2\sin t\) は \(x^2/9+y^2/4=1\)

注意

媒介変数を消去すると、元の曲線の方程式を確認できます。

極座標と直交座標

\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,r^2=x^2+y^2,\tan\theta=y/x\)

いつ使う？

点の表し方を、原点からの距離と偏角による極座標へ変換します。

短い例

極座標 \((2,\pi/3)\) は直交座標 \((1,\sqrt3)\)

注意

偏角は象限を考えて決めます。

円の極方程式

原点を通り中心が \((a,0)\) の円は \(r=2a\cos\theta\)

いつ使う？

極座標で表された円の中心と半径を読み取ります。

短い例

\(r=4\cos\theta\) は中心 \((2,0)\)、半径2の円

注意

両辺へ \(r\) を掛け、\(r^2=x^2+y^2,r\cos\theta=x\) を使うと確認できます。