複素数平面の公式・用語まとめ

複素数の絶対値

\(z=x+yi\) なら \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)

いつ使う？

複素数を表す点と原点との距離を求めます。

短い例

\(|3+4i|=5\)

注意

複素数の絶対値は実数で、常に0以上です。

共役と絶対値

\(\overline z=x-yi\), \(z\overline z=|z|^2\)

いつ使う？

複素数の商を整理したり、絶対値の2乗を計算したりします。

短い例

\((2+i)(2-i)=5\)

注意

\(\overline{z+w}=\overline z+\overline w\)、\(\overline{zw}=\overline z\,\overline w\) です。

2点間の距離

複素数 \(\alpha,\beta\) を表す2点間の距離は \(|\beta-\alpha|\)

いつ使う？

複素数平面上の線分の長さや、円の条件を表します。

短い例

中心 \(\alpha\)、半径 \(r\) の円は \(|z-\alpha|=r\)

注意

終点から始点を引いた複素数の絶対値を取ります。

極形式

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\quad(r=|z|)\)

いつ使う？

複素数を絶対値と偏角で表し、積・商・累乗を簡単にします。

短い例

\(1+i=\sqrt2(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4)\)

注意

偏角は \(2\pi\) の整数倍を加えたものも同じ向きを表します。

極形式の積と商

\(|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\ \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\)、\(\arg(z_1/z_2)=\arg z_1-\arg z_2\)

いつ使う？

複素数の積・商の絶対値と偏角を求めます。

短い例

複素数を掛ける操作は、拡大と回転の組合せとして考えられます。

注意

商では絶対値を割り、偏角を引きます。

ド・モアブルの定理

\(\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)

いつ使う？

複素数の整数乗を求めたり、三角関数の関係式を導いたりします。

短い例

\((\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos3\theta+i\sin3\theta\)

注意

絶対値はn乗し、偏角はn倍します。

複素数による回転

点 \(z\) を原点中心に角 \(\theta\) 回転すると \(z'=z(\cos\theta+i\sin\theta)\)

いつ使う？

複素数平面上の点や図形を回転移動します。

短い例

90°回転は \(i\) を掛ける操作

注意

反時計回りを正の向きとして偏角を加えます。

n乗根

\(z^n=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) の解は \(z=\sqrt[n]r\left\{\cos\dfrac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right\}\ (k=0,1,\ldots,n-1)\)

いつ使う？

複素数のn乗根をすべて求めます。

短い例

\(z^3=1\) の解は単位円上に120°間隔で並ぶ

注意

異なる解がn個になるよう、\(k=0\) から \(n-1\) まで取ります。