数学的な表現の工夫の公式・用語まとめ

行列の加法と実数倍

\((a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij})\), \(k(a_{ij})=(ka_{ij})\)

いつ使う？

同じ型の行列同士を、対応する成分ごとに計算します。

短い例

\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\)

注意

加法は行数と列数が同じ行列同士で行います。

行列の積

\((AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}\)

いつ使う？

左の行列の行と右の行列の列を掛け合わせ、変換や関係の合成を表します。

短い例

\(\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=ax+by\)

注意

一般に \(AB\ne BA\) です。左の列数と右の行数が一致する必要があります。

単位行列

\(AI=IA=A\), \(I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)（2次の場合）

いつ使う？

行列の積における数の1と同じ役割を表します。

短い例

行列による変換を行わない操作に対応します。

注意

行列の型に合った次数の単位行列を使います。

行列によるベクトルの変換

\(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)

いつ使う？

平面上の点やベクトルの拡大・回転・反射などをまとめて表します。

短い例

\(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) は原点中心の90°回転

注意

変換を続けて行う場合、行列を掛ける順序に注意します。

隣接行列

頂点 \(i\) から頂点 \(j\) への辺があれば \(a_{ij}=1\)、なければ0

いつ使う？

ネットワークの頂点同士の接続関係を行列で表します。

短い例

無向グラフの隣接行列は、対角線に関して対称になります。

注意

有向グラフでは、行を出発点、列を到着点とするなど定義を統一します。

隣接行列の累乗と経路数

隣接行列を \(A\) とすると、\((A^n)_{ij}\) は頂点 \(i\) から \(j\) への長さ \(n\) の歩道数

いつ使う？

一定本数の辺を通る移動方法の数を行列で数えます。

短い例

\((A^2)_{ij}\) は途中に1頂点を挟む2段階の移動数

注意

同じ頂点や辺を再び通る歩道も数える定義です。

グラフの次数の総和

無向グラフでは \(\sum\deg(v)=2|E|\)

いつ使う？

各頂点につながる辺の本数と、グラフ全体の辺の本数を結び付けます。

短い例

辺1本は両端の2頂点の次数へ1ずつ加わります。

注意

有向グラフでは入次数と出次数を分けて考えます。

グラフの尺度と軸

同じデータでも、軸の開始値・目盛間隔・縦横比によって見え方が変わる

いつ使う？

統計グラフを正しく読み取り、誤解を招かない表現を選びます。

短い例

縦軸を0から始めない棒グラフは、小さな差を大きく見せることがあります。

注意

タイトル、単位、データ範囲、軸の切断を確認します。