図形の性質の公式・用語まとめ

角の二等分線の定理

\(AD\) が \(\angle A\) の二等分線なら \(BD:DC=AB:AC\)

いつ使う？

三角形の角の二等分線が、向かい側の辺を分ける比を求めます。

短い例

\(AB:AC=2:3\) なら \(BD:DC=2:3\)

注意

内角の二等分線と外角の二等分線を区別します。

三角形の重心

重心 \(G\) は各中線を頂点側から \(2:1\) に内分する

いつ使う？

中線上の長さや重心の位置を求めるときに使います。

短い例

中線 \(AM=9\) なら \(AG=6,GM=3\)

注意

2:1の『2』が頂点側です。

円周角の定理

同じ弧に対する円周角は等しく、中心角の半分になる

いつ使う？

円周上の角や、4点が同一円周上にあることを判断します。

短い例

中心角が \(100^\circ\) なら、同じ弧に対する円周角は \(50^\circ\)

注意

どの弧に対する角かを確認します。

円に内接する四角形

向かい合う内角の和は \(180^\circ\)

いつ使う？

円に内接する四角形の未知の角を求めます。逆も成り立ちます。

短い例

\(\angle A=70^\circ\) なら \(\angle C=110^\circ\)

注意

隣り合う角ではなく、向かい合う角です。

方べきの定理

\(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)、接線なら \(PT^2=PA\cdot PB\)

いつ使う？

円と2本の割線、または接線が作る線分の長さを求めます。

短い例

\(PA=2,PB=8,PC=4\) なら \(PD=4\)

注意

同じ直線上で、点 \(P\) から近い点と遠い点までの長さを掛けます。

チェバの定理

\(\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}\cdot\dfrac{AF}{FB}=1\)

いつ使う？

三角形の3本の線分が1点で交わる条件を、辺の比で判定します。

短い例

2つの比が分かれば、積が1になるように残りの比を求めます。

注意

三角形の辺を同じ向きに一周するように比を並べます。

メネラウスの定理

\(\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}\cdot\dfrac{AF}{FB}=1\)（長さの比を用いる形）

いつ使う？

三角形の辺または延長上にある3点が一直線上に並ぶ条件を判定します。

短い例

2つの辺の比から、延長上にある点が作る比を求めます。

注意

点が辺の延長上にある場合でも、線分の長さは正として扱う形です。