場合の数と確率の公式・用語まとめ

和の法則と積の法則

排反な選び方が \(m,n\) 通りなら合計 \(m+n\) 通り。2段階の選び方が \(m,n\) 通りなら \(mn\) 通り。

いつ使う？

場合分けを足すのか、連続する選択を掛けるのか判断するときに使います。

短い例

赤3種類または青2種類から1つ選ぶなら5通り。上着3着とズボン2本なら6通り。

注意

同じ結果を重複して数えていないか確認します。

順列

\({}_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)

いつ使う？

異なる \(n\) 個から \(r\) 個を選び、順番に並べるときに使います。

短い例

5人から会長と副会長を選ぶ方法は \({}_5P_2=20\) 通り

注意

役割や並ぶ順番が違えば別の結果になる場合は順列です。

組合せ

\({}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)

いつ使う？

異なる \(n\) 個から、順番を区別せずに \(r\) 個を選ぶときに使います。

短い例

5人から2人を選ぶ方法は \({}_5C_2=10\) 通り

注意

\({}_nC_r={}_nC_{n-r}\) を使うと計算を短くできます。

確率の基本

\(P(A)=\dfrac{\text{Aの起こる場合の数}}{\text{起こり得るすべての場合の数}}\)

いつ使う？

すべての結果が同様に確からしいとき、事象 \(A\) の確率を求めます。

短い例

さいころで偶数が出る確率は \(\dfrac36=\dfrac12\)

注意

分母と分子で、同じ基準の結果を数えます。

余事象の確率

\(P(\overline A)=1-P(A)\)

いつ使う？

『少なくとも1回』のように、反対の事象のほうが数えやすいときに使います。

短い例

硬貨を2回投げて少なくとも1回表が出る確率は \(1-\dfrac14=\dfrac34\)

注意

『少なくとも1つ』の反対は『1つもない』です。

反復試行の確率

\({}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}\)

いつ使う？

成功確率 \(p\) の独立な試行を \(n\) 回行い、ちょうど \(k\) 回成功する確率を求めます。

短い例

硬貨を3回投げて表が2回出る確率は \({}_3C_2(\frac12)^3=\frac38\)

注意

成功する回の選び方 \({}_nC_k\) を掛け忘れないようにします。

条件付き確率

\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\quad(P(B)>0)\)

いつ使う？

事象 \(B\) が起こったと分かっている条件のもとで、事象 \(A\) の確率を求めます。

短い例

分母は条件として与えられた事象 \(B\) の確率

注意

条件が付くと、確率を考える全体が \(B\) に変わります。