集合と命題の公式・用語まとめ

和集合と共通部分

\(A\cup B=\{x\mid x\in A\ または\ x\in B\}\), \(A\cap B=\{x\mid x\in A\ かつ\ x\in B\}\)

いつ使う？

2つの集合をまとめたり、共通する要素だけを取り出したりするときに使います。

短い例

\(A=\{1,2\},B=\{2,3\}\) なら \(A\cap B=\{2\}\)

注意

\(\cup\) は『または』、\(\cap\) は『かつ』に対応します。

補集合

\(\overline A=U\setminus A\)

いつ使う？

全体集合 \(U\) のうち、集合 \(A\) に含まれない要素を表します。

短い例

\(U=\{1,2,3\},A=\{1,2\}\) なら \(\overline A=\{3\}\)

注意

補集合を考える前に、全体集合を確認します。

ド・モルガンの法則

\(\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B\), \(\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\)

いつ使う？

集合全体に付いた否定を、各集合の否定へ分けるときに使います。

短い例

『AまたはBではない』は『Aでなく、かつBでもない』。

注意

補集合を分配すると、\(\cup\) と \(\cap\) が入れ替わります。

命題と対偶

\(p\Rightarrow q\) の対偶は \(\lnot q\Rightarrow\lnot p\)

いつ使う？

元の命題を直接示しにくいとき、真偽が同じ対偶を証明します。

短い例

『偶数でないなら2の倍数でない』は、『2の倍数なら偶数』の対偶。

注意

逆 \(q\Rightarrow p\) は、元の命題と同値とは限りません。

必要条件と十分条件

\(p\Rightarrow q\) のとき、\(p\) は \(q\) の十分条件、\(q\) は \(p\) の必要条件

いつ使う？

2つの条件の強さと向きを整理するときに使います。

短い例

『4の倍数』は『偶数』であるための十分条件。『偶数』は『4の倍数』であるための必要条件。

注意

矢印の出発側が十分条件、到着側が必要条件です。