二次関数の公式まとめ

頂点形式

\(y=a(x-p)^2+q\)

いつ使う？

放物線の頂点と軸を式から直接読み取るときに使います。

短い例

\(y=2(x-3)^2-1\) の頂点は \((3,-1)\)、軸は \(x=3\)

注意

\((x-p)^2\) の符号に注意します。\((x+2)^2\) なら \(p=-2\) です。

平方完成

\(ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\)

いつ使う？

一般形から頂点形式へ変形するときに使います。

短い例

\(x^2+4x+1=(x+2)^2-3\)

注意

まず \(x^2\) と \(x\) の項から \(a\) をくくります。

軸と頂点の座標

\(y=ax^2+bx+c\) の軸は \(x=-\dfrac{b}{2a}\)、頂点の \(y\) 座標は \(-\dfrac{D}{4a}\)

いつ使う？

平方完成せずに軸や頂点を素早く求めるときに使います。

短い例

\(y=x^2-6x+5\) の軸は \(x=3\)

注意

\(D=b^2-4ac\) です。

二次方程式の解の公式

\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

いつ使う？

\(ax^2+bx+c=0\) を因数分解しにくいときに使います。

短い例

\(x^2-2x-1=0\Rightarrow x=1\pm\sqrt2\)

注意

分子全体が \(2a\) で割られます。

判別式

\(D=b^2-4ac\)

いつ使う？

二次方程式の実数解の個数や、放物線と \(x\) 軸の共有点の個数を判定します。

短い例

\(D>0\)：2個、\(D=0\)：1個、\(D<0\)：0個

注意

共有点の個数を聞かれたら、方程式に直して判別式を使います。

最大値・最小値

\(a>0\) なら頂点で最小、\(a<0\) なら頂点で最大

いつ使う？

放物線の開く向きと頂点から、値の範囲を求めます。

短い例

\(y=(x-1)^2+2\) の最小値は \(2\)

注意

定義域がある場合は、頂点が範囲内か確認し、両端の値も比較します。