数と式の公式・用語まとめ

平方の展開公式

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

いつ使う？

同じ2項を2回掛ける形を、一度に展開するときに使います。

短い例

\((x+3)^2=x^2+6x+9\)

注意

真ん中の項は \(2ab\) です。符号も含めて確認します。

和と差の積

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

いつ使う？

同じ2項で符号だけが異なる積を、平方の差に直すときに使います。

短い例

\((x+5)(x-5)=x^2-25\)

注意

真ん中の項が打ち消し合うため、2項だけになります。

2次式の因数分解

\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)

いつ使う？

積が定数項、和が \(x\) の係数になる2数を探します。

短い例

\(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\)

注意

展開公式を逆向きに使う操作です。

根号の積と商

\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\), \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}\quad(a\geq0,\ b>0)\)

いつ使う？

根号の中をまとめたり、平方数を外へ出したりするときに使います。

短い例

\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3\)

注意

根号の中が負でないことを確認します。

絶対値の場合分け

\(|x|=\begin{cases}x&(x\geq0)\\-x&(x<0)\end{cases}\)

いつ使う？

絶対値を外して方程式や不等式を解くときに使います。

短い例

\(|x|=3\) なら \(x=3,-3\)

注意

絶対値は数直線上の0からの距離です。

不等式の符号反転

\(a<b\) の両辺に負の数を掛けると不等号の向きが逆になります。

いつ使う？

1次不等式を変形して未知数の範囲を求めるときに使います。

短い例

\(-2x<6\Rightarrow x>-3\)

注意

足し算・引き算では不等号の向きは変わりません。