数学瞬発トレーニング 数学C・複素数平面

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複素数平面の問題一覧

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この範囲から10問 公式・用語を確認
科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて ベクトル 40 平面上の曲線 30 複素数平面 30 数学的な表現の工夫 15
分野
すべて 30 複素数平面 1 複素数の絶対値 1 偏角 1 共役複素数 1 複素数平面上の距離 1 共役複素数と絶対値 1 実数となる条件 1 純虚数となる条件 1 複素数の極形式 1 極形式の積 1 極形式の商 1 ド・モアブルの定理 2 極形式への変換 1 極形式の累乗 1 複素数と回転 1 iによる回転 1 複素数のn乗根 2 1のn乗根 2 3倍角の公式 1 1のn乗根と正多角形 1 複素数平面上の円 1 等距離の軌跡 1 偏角一定の軌跡 1 実部一定の軌跡 1 絶対値と領域 1 アポロニウスの円 1 共役複素数と軌跡 1
30問
Q1 1のn乗根 ★☆☆

方程式 \(z^3=1\) の解の個数は？

  1. 1個
  2. 2個
  3. 3個
  4. 無限個
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正解C. 3個

ポイント：1のn乗根

1の3乗根は複素数平面上に等間隔で3個あります。
Q2 1のn乗根 ★☆☆

方程式 \(z^4=1\) の解は？

  1. \(1,i,-1,-i\)
  2. 1,-1
  3. 1,i
  4. 1,-i
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正解A. \(1,i,-1,-i\)

ポイント：1のn乗根

偏角0、π/2、π、3π/2の4点です。
単位円上に並ぶ1の4乗根1,i,-1,-i
単位円上に並ぶ1の4乗根1,i,-1,-i
Q3 1のn乗根と正多角形 ★☆☆

1のn乗根を複素数平面上に結ぶとできる図形は？

  1. 原点中心の正n角形
  2. 放物線
  3. 直線
  4. 楕円
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正解A. 原点中心の正n角形

ポイント：1のn乗根と正多角形

絶対値1、偏角が2π/nずつ異なる点なので正n角形になります。
Q4 3倍角の公式 ★★☆

ド・モアブルの定理から得られる \(\cos3\theta\) は？

  1. \(4\cos^3\theta-3\cos\theta\)
  2. \(3\cos\theta-4\cos^3\theta\)
  3. \(\cos^3\theta-3\cos\theta\)
  4. \(3\cos^2\theta-1\)
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正解A. \(4\cos^3\theta-3\cos\theta\)

ポイント：3倍角の公式

(cosθ+i sinθ)³の実部を比較します。
Q5 iによる回転 ★☆☆

複素数zにiを掛けると、複素数平面では？

  1. 原点中心に \(90^\circ\) 回転
  2. 原点中心に180°回転
  3. 実軸対称
  4. 大きさが2倍
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正解A. 原点中心に \(90^\circ\) 回転

ポイント：iによる回転

iの絶対値は1、偏角はπ/2です。
複素数にiを掛けて原点中心に90度回転する図
複素数にiを掛けて原点中心に90度回転する図
Q6 アポロニウスの円 ★★☆

\(|z-1|=2|z+1|\) が表す図形は一般に？

  1. 円
  2. 直線
  3. 放物線
  4. 双曲線
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正解A. 円

ポイント：アポロニウスの円

2定点からの距離の比が1でない一定値なので、アポロニウスの円です。
Q7 ド・モアブルの定理 ★☆☆

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) のn乗は？

  1. \(r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)
  2. \(nr(\cos\theta+i\sin\theta)\)
  3. \(r^n(\cos\theta+i\sin\theta)\)
  4. \(r(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)
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正解A. \(r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)

ポイント：ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理により絶対値はn乗、偏角はn倍です。
Q8 ド・モアブルの定理 ★☆☆

ド・モアブルの定理として正しいものは？

  1. \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)
  2. \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos\theta+i\sin\theta\)
  3. \(=n\cos\theta+in\sin\theta\)
  4. \(=\cos^n\theta+i\sin^n\theta\)
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正解A. \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)

ポイント：ド・モアブルの定理

偏角がn倍になることを表す定理です。
Q9 偏角 ★☆☆

零でない複素数zが正の実軸となす角を何という？

  1. 偏角
  2. 絶対値
  3. 実部
  4. 共役
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正解A. 偏角

ポイント：偏角

正の実軸から測った向き付き角を偏角arg zといいます。
Q10 偏角一定の軌跡 ★☆☆

\(\arg z=\theta\) が表す図形は？（z≠0）

  1. 原点から偏角θ方向へ伸びる半直線
  2. 原点中心の円
  3. 実軸
  4. 点θ
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正解A. 原点から偏角θ方向へ伸びる半直線

ポイント：偏角一定の軌跡

原点から見た向きが一定の点全体です。
Q11 共役複素数 ★☆☆

共役複素数 \(\overline z\) は複素数平面でzを何について対称移動した点？

  1. 実軸
  2. 虚軸
  3. 原点
  4. 直線y=x
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正解A. 実軸

ポイント：共役複素数

虚部の符号が反転するので実軸対称です。
Q12 共役複素数と絶対値 ★☆☆

複素数zについて、\(z\overline z\) は？

  1. \(|z|^2\)
  2. 2|z|
  3. z^2
  4. 0
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正解A. \(|z|^2\)

ポイント：共役複素数と絶対値

\((x+yi)(x-yi)=x^2+y^2=|z|^2\) です。
Q13 共役複素数と軌跡 ★☆☆

\(z+\overline z=2\) が表す図形は？

  1. \(x=1\) の直線
  2. y=1 の直線
  3. 実軸
  4. 原点中心・半径2の円
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正解A. \(x=1\) の直線

ポイント：共役複素数と軌跡

z+z̄=2Re z=2より実部が1です。
Q14 実数となる条件 ★☆☆

複素数zが実数である条件は？

  1. \(z=\overline z\)
  2. \(z=-\overline z\)
  3. |z|=0
  4. \(z\overline z=0\)
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正解A. \(z=\overline z\)

ポイント：実数となる条件

虚部が0なら共役をとっても変わりません。
Q15 実部一定の軌跡 ★☆☆

\(\operatorname{Re}z=c\) が表す図形は？

  1. \(x=c\) の直線
  2. y=c の直線
  3. 原点中心の円
  4. 実軸
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正解A. \(x=c\) の直線

ポイント：実部一定の軌跡

実部、すなわちx座標が一定の垂直線です。
Q16 極形式の商 ★☆☆

複素数を極形式で割るとき、絶対値と偏角は？

  1. 絶対値は割り、偏角は引く
  2. 絶対値は掛け、偏角は加える
  3. 絶対値は引き、偏角は割る
  4. どちらも加える
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正解A. 絶対値は割り、偏角は引く

ポイント：極形式の商

商では \(r_1/r_2\)、偏角 \(\theta_1-\theta_2\) です。
Q17 極形式の積 ★☆☆

複素数を極形式で掛けるとき、絶対値と偏角は？

  1. 絶対値は掛け、偏角は加える
  2. 絶対値は加え、偏角は掛ける
  3. 絶対値は割り、偏角は引く
  4. どちらも変わらない
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正解A. 絶対値は掛け、偏角は加える

ポイント：極形式の積

積では \(r_1r_2\)、偏角 \(\theta_1+\theta_2\) になります。
Q18 極形式の累乗 ★☆☆

\((1+i)^4\) の値は？

  1. \(-4\)
  2. \(4\)
  3. \(4i\)
  4. \(-4i\)
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正解A. \(-4\)

ポイント：極形式の累乗

1+i=√2(cosπ/4+i sinπ/4)より、4乗は4(cosπ+i sinπ)=−4です。
Q19 極形式への変換 ★☆☆

\(1+i\) の極形式は？

  1. \(\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)\)
  2. \(2(\cos\pi/4+i\sin\pi/4)\)
  3. \(\sqrt2(\cos\pi/2+i\sin\pi/2)\)
  4. \(\cos\pi/4+i\sin\pi/4\)
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正解A. \(\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)\)

ポイント：極形式への変換

絶対値は√2、偏角はπ/4です。
複素数1+iの絶対値√2と偏角π/4
複素数1+iの絶対値√2と偏角π/4
Q20 等距離の軌跡 ★☆☆

\(|z-1|=|z+1|\) が表す図形は？

  1. 虚軸
  2. 実軸
  3. 原点中心・半径1の円
  4. 直線x=1
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正解A. 虚軸

ポイント：等距離の軌跡

点1と点−1から等距離の点は、その垂直二等分線である虚軸です。
Q21 純虚数となる条件 ★☆☆

複素数zが純虚数または0である条件は？

  1. \(z+\overline z=0\)
  2. \(z-\overline z=0\)
  3. \(z\overline z=1\)
  4. \(z=\overline z\)
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正解A. \(z+\overline z=0\)

ポイント：純虚数となる条件

z+z̄=2Re(z)なので、実部が0となる条件です。
Q22 絶対値と領域 ★☆☆

\(|z|\leq2\) が表す領域は？

  1. 原点中心・半径2の円の内部と周
  2. 円周のみ
  3. 円の外部
  4. 実軸上の区間
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正解A. 原点中心・半径2の円の内部と周

ポイント：絶対値と領域

原点からの距離が2以下の点全体です。
Q23 複素数と回転 ★☆☆

複素数zに \(\cos\alpha+i\sin\alpha\) を掛ける図形的意味は？

  1. 原点中心に角αだけ回転
  2. 実軸方向へαだけ平行移動
  3. 絶対値をα倍
  4. 実軸対称
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正解A. 原点中心に角αだけ回転

ポイント：複素数と回転

絶対値1を掛けるので距離は変わらず、偏角だけα増えます。
Q24 複素数のn乗根 ★☆☆

零でない複素数wに対し、方程式 \(z^n=w\) の異なる解は通常何個？

  1. \(n\) 個
  2. n-1 個
  3. 1個
  4. 無限個
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正解A. \(n\) 個

ポイント：複素数のn乗根

偏角の違うn個のn乗根が得られます。
Q25 複素数のn乗根 ★★☆

零でない複素数 \(w=R(\cos\phi+i\sin\phi)\) のn乗根は？

  1. \(\sqrt[n]R\left(\cos\dfrac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\phi+2k\pi}{n}\right)\)
  2. \(R^n(\cos n\phi+i\sin n\phi)\)
  3. \(\sqrt[n]R(\cos\phi+i\sin\phi)\)
  4. \(nR(\cos\phi+i\sin\phi)\)
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正解A. \(\sqrt[n]R\left(\cos\dfrac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\phi+2k\pi}{n}\right)\)

ポイント：複素数のn乗根

絶対値はn乗根、偏角は2kπを加えてnで割ります。
Q26 複素数の極形式 ★☆☆

絶対値r、偏角θの複素数zの極形式は？

  1. \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
  2. \(z=r(\sin\theta+i\cos\theta)\)
  3. \(z=r+\cos\theta+i\sin\theta\)
  4. \(z=ri\theta\)
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正解A. \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

ポイント：複素数の極形式

実部r cosθ、虚部r sinθとして表します。
Q27 複素数の絶対値 ★☆☆

複素数 \(z=x+yi\) の絶対値 \(|z|\) は？

  1. \(\sqrt{x^2+y^2}\)
  2. x+y
  3. x^2+y^2
  4. \(\sqrt{x+y}\)
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正解A. \(\sqrt{x^2+y^2}\)

ポイント：複素数の絶対値

原点から点(x,y)までの距離です。
Q28 複素数平面 ★☆☆

複素数 \(z=x+yi\) に対応する複素数平面上の点は？

  1. \((x,y)\)
  2. (y,x)
  3. (x,-y)
  4. (-x,y)
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正解A. \((x,y)\)

ポイント：複素数平面

実部を横座標、虚部を縦座標に対応させます。
Q29 複素数平面上の円 ★☆☆

\(|z-a|=r\)（r>0）が表す図形は？

  1. 中心a、半径rの円
  2. 点aを通る直線
  3. 原点中心の楕円
  4. 半径rの円の内部
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正解A. 中心a、半径rの円

ポイント：複素数平面上の円

点zと定点aの距離がrで一定です。
Q30 複素数平面上の距離 ★☆☆

2点 \(z_1,z_2\) 間の距離は？

  1. \(|z_1-z_2|\)
  2. |z_1+z_2|
  3. |z_1||z_2|
  4. z_1-z_2
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正解A. \(|z_1-z_2|\)

ポイント：複素数平面上の距離

差の複素数の絶対値が2点間距離になります。