数学瞬発トレーニング 数学C・平面上の曲線

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平面上の曲線の問題一覧

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科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて ベクトル 40 平面上の曲線 30 複素数平面 30 数学的な表現の工夫 15
分野
すべて 30 放物線の定義 1 放物線の焦点 2 放物線の準線 1 放物線の方程式 1 放物線の接線 2 楕円の定義 1 楕円の焦点 2 楕円の軸 1 楕円の離心率 1 楕円の接線 2 双曲線の定義 1 双曲線の焦点 2 双曲線の漸近線 2 双曲線の離心率 1 双曲線の接線 1 媒介変数表示 1 円の媒介変数表示 1 楕円の媒介変数表示 1 サイクロイド 1 極座標と直交座標 2 円の極方程式 2 極座標から直交座標 1
30問
Q1 サイクロイド ★★☆

サイクロイドの代表的な媒介変数表示は？

  1. \(x=a(t-\sin t),\ y=a(1-\cos t)\)
  2. \(x=a\cos t,\ y=a\sin t\)
  3. \(x=at,\ y=at^2\)
  4. \(x=a/t,\ y=at\)
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正解A. \(x=a(t-\sin t),\ y=a(1-\cos t)\)

ポイント：サイクロイド

半径aの円が直線上を滑らずに転がる点の軌跡です。
Q2 円の媒介変数表示 ★☆☆

円 \(x^2+y^2=a^2\) の媒介変数表示は？

  1. \(x=a\cos t,\ y=a\sin t\)
  2. \(x=at,\ y=at\)
  3. \(x=a\cos^2t,\ y=a\sin^2t\)
  4. \(x=a+t,\ y=a-t\)
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正解A. \(x=a\cos t,\ y=a\sin t\)

ポイント：円の媒介変数表示

cos²t+sin²t=1を用います。
Q3 円の極方程式 ★☆☆

極方程式 \(r=a\) が表す曲線は？

  1. 原点中心・半径aの円
  2. x=aの直線
  3. 放物線
  4. 楕円
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正解A. 原点中心・半径aの円

ポイント：円の極方程式

原点からの距離が一定aの点全体です。
Q4 円の極方程式 ★★☆

極方程式 \(r=2a\cos\theta\) が表す円の中心は？

  1. \((a,0)\)
  2. (-a,0)
  3. (0,a)
  4. (0,0)
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正解A. \((a,0)\)

ポイント：円の極方程式

r²=2ar cosθよりx²+y²=2ax、すなわち(x−a)²+y²=a²です。
極方程式r=2a cosθで表される中心a,0の円
極方程式r=2a cosθで表される中心a,0の円
Q5 双曲線の定義 ★☆☆

2定点からの距離の差の絶対値が一定である点の軌跡は？

  1. 双曲線
  2. 楕円
  3. 放物線
  4. 円
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正解A. 双曲線

ポイント：双曲線の定義

2定点を焦点とする双曲線の定義です。
Q6 双曲線の接線 ★★☆

双曲線 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上の点 \((x_1,y_1)\) での接線は？

  1. \(\dfrac{xx_1}{a^2}-\dfrac{yy_1}{b^2}=1\)
  2. \(\dfrac{xx_1}{a^2}+\dfrac{yy_1}{b^2}=1\)
  3. xx_1-yy_1=0
  4. \(\dfrac{x+x_1}{a}-\dfrac{y+y_1}{b}=1\)
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正解A. \(\dfrac{xx_1}{a^2}-\dfrac{yy_1}{b^2}=1\)

ポイント：双曲線の接線

双曲線の符号を保ち、2乗項を積に置き換えます。
Q7 双曲線の漸近線 ★☆☆

双曲線 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の漸近線は？

  1. \(y=\pm\dfrac ba x\)
  2. \(y=\pm\dfrac ab x\)
  3. \(x=\pm a\)
  4. \(y=\pm b\)
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正解A. \(y=\pm\dfrac ba x\)

ポイント：双曲線の漸近線

定数項を0とした2直線が漸近線になります。
Q8 双曲線の漸近線 ★☆☆

双曲線 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1\) の漸近線は？

  1. \(y=\pm\dfrac23x\)
  2. \(y=\pm\dfrac32x\)
  3. \(y=\pm2x\)
  4. \(x=\pm3\)
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正解A. \(y=\pm\dfrac23x\)

ポイント：双曲線の漸近線

a=3、b=2なのでy=±(2/3)xです。
Q9 双曲線の焦点 ★☆☆

双曲線 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の焦点は？

  1. \((\pm c,0),\ c^2=a^2+b^2\)
  2. \((0,\pm c),\ c^2=a^2-b^2\)
  3. \((\pm a,0)\)
  4. \((0,\pm b)\)
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正解A. \((\pm c,0),\ c^2=a^2+b^2\)

ポイント：双曲線の焦点

横軸型双曲線の焦点はx軸上で、c²=a²+b²です。
Q10 双曲線の焦点 ★☆☆

双曲線 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\) の焦点は？

  1. \((\pm4,0)\)
  2. \((\pm5,0)\)
  3. \((0,\pm5)\)
  4. \((\pm7,0)\)
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正解B. \((\pm5,0)\)

ポイント：双曲線の焦点

c²=9+16=25よりc=5です。
Q11 双曲線の離心率 ★☆☆

双曲線の離心率eは通常どの範囲？

  1. \(0<e<1\)
  2. e=1
  3. e>1
  4. e=0
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正解C. e>1

ポイント：双曲線の離心率

双曲線ではc>aなのでe=c/a>1です。
Q12 媒介変数表示 ★☆☆

x、yを別の変数tの関数として曲線を表す方法は？

  1. 媒介変数表示
  2. 陰関数表示
  3. 標準化
  4. 帰納法
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正解A. 媒介変数表示

ポイント：媒介変数表示

tを媒介変数としてx=f(t)、y=g(t)と表します。
Q13 放物線の定義 ★☆☆

定点Fと、Fを通らない定直線lからの距離が等しい点の軌跡は？

  1. 放物線
  2. 楕円
  3. 双曲線
  4. 円
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正解A. 放物線

ポイント：放物線の定義

定点を焦点、定直線を準線とする放物線の定義です。
Q14 放物線の接線 ★☆☆

放物線 \(y^2=4x\) 上の点(1,2)における接線は？

  1. \(y=x+1\)
  2. y=2x
  3. y=x-1
  4. 2y=x+1
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正解A. \(y=x+1\)

ポイント：放物線の接線

2y=2(x+1)よりy=x+1です。
Q15 放物線の接線 ★★☆

放物線 \(y^2=4px\) 上の点 \((x_1,y_1)\) における接線は？

  1. \(yy_1=2p(x+x_1)\)
  2. yy_1=4px
  3. xx_1+yy_1=p
  4. y-y_1=p(x-x_1)
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正解A. \(yy_1=2p(x+x_1)\)

ポイント：放物線の接線

放物線の接線公式は \(yy_1=2p(x+x_1)\) です。
Q16 放物線の方程式 ★☆☆

焦点が(0,3)、準線がy=−3の放物線は？

  1. \(x^2=12y\)
  2. y^2=12x
  3. x^2=6y
  4. y^2=-12x
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正解A. \(x^2=12y\)

ポイント：放物線の方程式

x²=4pyでp=3なのでx²=12yです。
Q17 放物線の準線 ★☆☆

放物線 \(y^2=4px\) の準線は？

  1. \(x=-p\)
  2. x=p
  3. y=-p
  4. y=p
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正解A. \(x=-p\)

ポイント：放物線の準線

焦点(p,0)と頂点をはさんで反対側の直線x=−pです。
Q18 放物線の焦点 ★☆☆

放物線 \(y^2=4px\) の焦点は？

  1. \((p,0)\)
  2. (-p,0)
  3. (0,p)
  4. (0,-p)
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正解A. \((p,0)\)

ポイント：放物線の焦点

標準形y²=4pxの焦点は(p,0)です。
Q19 放物線の焦点 ★☆☆

放物線 \(y^2=8x\) の焦点は？

  1. \((1,0)\)
  2. (2,0)
  3. (4,0)
  4. (0,2)
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正解B. (2,0)

ポイント：放物線の焦点

4p=8よりp=2なので焦点は(2,0)です。
焦点と準線をもつ右向きの放物線
焦点と準線をもつ右向きの放物線
Q20 楕円の媒介変数表示 ★☆☆

楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の媒介変数表示は？

  1. \(x=a\cos t,\ y=b\sin t\)
  2. \(x=b\cos t,\ y=a\cos t\)
  3. \(x=at,\ y=bt\)
  4. \(x=a\sin^2t,\ y=b\cos^2t\)
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正解A. \(x=a\cos t,\ y=b\sin t\)

ポイント：楕円の媒介変数表示

標準形へ代入するとcos²t+sin²t=1になります。
Q21 楕円の定義 ★☆☆

2定点からの距離の和が一定である点の軌跡は？

  1. 楕円
  2. 放物線
  3. 双曲線
  4. 直線
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正解A. 楕円

ポイント：楕円の定義

2定点を焦点とする楕円の定義です。
Q22 楕円の接線 ★☆☆

楕円 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) 上の点(0,1)での接線は？

  1. \(y=1\)
  2. x=1
  3. x+y=1
  4. y=2x
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正解A. \(y=1\)

ポイント：楕円の接線

接線公式に(0,1)を代入するとy=1です。
Q23 楕円の接線 ★★☆

楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上の点 \((x_1,y_1)\) での接線は？

  1. \(\dfrac{xx_1}{a^2}+\dfrac{yy_1}{b^2}=1\)
  2. \(\dfrac{x+x_1}{a}+\dfrac{y+y_1}{b}=1\)
  3. xx_1+yy_1=a^2+b^2
  4. \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=0\)
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正解A. \(\dfrac{xx_1}{a^2}+\dfrac{yy_1}{b^2}=1\)

ポイント：楕円の接線

各2乗項を座標との積に置き換える接線公式です。
Q24 楕円の焦点 ★☆☆

楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（a>b>0）の焦点は？

  1. \((\pm c,0),\ c^2=a^2-b^2\)
  2. \((0,\pm c),\ c^2=a^2+b^2\)
  3. \((\pm a,0)\)
  4. \((0,\pm b)\)
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正解A. \((\pm c,0),\ c^2=a^2-b^2\)

ポイント：楕円の焦点

長軸がx軸上にあり、焦点距離cはc²=a²−b²です。
Q25 楕円の焦点 ★☆☆

楕円 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) の焦点は？

  1. \((\pm3,0)\)
  2. \((\pm4,0)\)
  3. \((0,\pm4)\)
  4. \((\pm5,0)\)
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正解B. \((\pm4,0)\)

ポイント：楕円の焦点

c²=25−9=16よりc=4です。
楕円の長半径と2つの焦点、および双曲線との比較
楕円の長半径と2つの焦点、および双曲線との比較
Q26 楕円の軸 ★☆☆

楕円 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) の長軸の長さは？

  1. \(5\)
  2. \(6\)
  3. \(10\)
  4. \(25\)
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正解C. \(10\)

ポイント：楕円の軸

長半径a=5なので長軸の長さは2a=10です。
Q27 楕円の離心率 ★☆☆

楕円の離心率eは通常どの範囲？

  1. \(0<e<1\)
  2. e=1
  3. e>1
  4. e<0
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正解A. \(0<e<1\)

ポイント：楕円の離心率

楕円では焦点距離cが長半径aより小さいため0<e=c/a<1です。
Q28 極座標から直交座標 ★☆☆

極座標で表された点 \((2,\pi/3)\) の直交座標は？

  1. \((1,\sqrt3)\)
  2. \((\sqrt3,1)\)
  3. (1,1)
  4. \((2,\pi/3)\)
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正解A. \((1,\sqrt3)\)

ポイント：極座標から直交座標

x=2cos(π/3)=1、y=2sin(π/3)=√3です。
Q29 極座標と直交座標 ★☆☆

極座標(r,θ)から直交座標への変換は？

  1. \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)
  2. \(x=r\sin\theta,\ y=r\cos\theta\)
  3. \(x=r+\theta,\ y=r-\theta\)
  4. \(x=r\theta,\ y=r/\theta\)
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正解A. \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)

ポイント：極座標と直交座標

原点からの距離rをx、y方向へ分解します。
Q30 極座標と直交座標 ★☆☆

直交座標(x,y)と極座標(r,θ)の関係は？

  1. \(r^2=x^2+y^2\)
  2. r=x+y
  3. r^2=x^2-y^2
  4. r=xy
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正解A. \(r^2=x^2+y^2\)

ポイント：極座標と直交座標

原点からの距離に三平方の定理を使います。