数学瞬発トレーニング 数学C・ベクトル

QUESTION LIBRARY

ベクトルの問題一覧

問題をまとめて確認し、答えと解説を開きながら復習できます。

この範囲から10問 公式・用語を確認
科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて ベクトル 40 平面上の曲線 30 複素数平面 30 数学的な表現の工夫 15
分野
すべて 40 ベクトル 1 ベクトルの相等 1 ベクトルの加法 1 ベクトルの減法 1 ベクトルの実数倍 2 成分と大きさ 1 ベクトルの成分計算 1 零ベクトル 1 単位ベクトル 1 内積の定義 1 内積の成分表示 1 内積の計算 1 ベクトルの垂直条件 1 ベクトルの垂直 1 内積となす角 1 内積と大きさ 1 内積による展開 1 正射影 1 コーシー・シュワルツの不等式 1 位置ベクトル 1 内分点の位置ベクトル 1 重心の位置ベクトル 1 一直線上の条件 1 直線のベクトル方程式 1 円のベクトル方程式 1 ベクトルの平行条件 1 ベクトルと面積 1 ベクトルと三角形の面積 1 ベクトルと点の存在範囲 1 空間ベクトルの大きさ 1 空間の2点間距離 1 空間ベクトルの内積 1 球面の方程式 1 平面の法線ベクトル 1 平面のベクトル方程式 1 平面の平行条件 1 直線と平面の垂直 1 共面条件 1 点と平面の距離 1
40問
Q1 コーシー・シュワルツの不等式 ★★☆

コーシー・シュワルツの不等式として正しいものは？

  1. \(|\vec a\cdot\vec b|\leq|\vec a||\vec b|\)
  2. \(|\vec a\cdot\vec b|\geq|\vec a||\vec b|\)
  3. \(|\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b|\)
  4. \(\vec a\cdot\vec b=0\)
答え・解説を見る

正解A. \(|\vec a\cdot\vec b|\leq|\vec a||\vec b|\)

ポイント：コーシー・シュワルツの不等式

\(|\cos\theta|\leq1\) から得られます。
Q2 ベクトル ★☆☆

大きさと向きをもつ量を何という？

  1. ベクトル
  2. スカラー
  3. 行列
  4. 母数
答え・解説を見る

正解A. ベクトル

ポイント：ベクトル

力や速度のように大きさと向きをもつ量をベクトルといいます。
Q3 ベクトルと三角形の面積 ★☆☆

2ベクトル \(\vec a,\vec b\) が作る三角形の面積は？

  1. \(\dfrac12|\vec a||\vec b|\sin\theta\)
  2. \(|\vec a||\vec b|\cos\theta\)
  3. \(|\vec a|+|\vec b|\)
  4. \(2|\vec a||\vec b|\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac12|\vec a||\vec b|\sin\theta\)

ポイント：ベクトルと三角形の面積

平行四辺形の面積の半分です。
Q4 ベクトルと点の存在範囲 ★★☆

三角形ABCで \(\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\)、\(s,t\geq0,s+t\leq1\) の点Pの範囲は？

  1. 三角形ABCの内部と周
  2. 直線BC上のみ
  3. 三角形の外部のみ
  4. 円周上
答え・解説を見る

正解A. 三角形ABCの内部と周

ポイント：ベクトルと点の存在範囲

非負の係数による凸結合なので、三角形全体を表します。
Q5 ベクトルと面積 ★★☆

\(\vec a=(a_1,a_2),\vec b=(b_1,b_2)\) が作る平行四辺形の面積は？

  1. \(|a_1b_2-a_2b_1|\)
  2. a_1b_1+a_2b_2
  3. \(|\vec a|+|\vec b|\)
  4. \(\dfrac12|a_1b_2-a_2b_1|\)
答え・解説を見る

正解A. \(|a_1b_2-a_2b_1|\)

ポイント：ベクトルと面積

2次の行列式の絶対値が平行四辺形の面積です。
Q6 ベクトルの加法 ★☆☆

\(\vec a+\vec b\) を図示する基本法則は？

  1. 三角形の法則または平行四辺形の法則
  2. 余弦定理のみ
  3. 積の法則
  4. 微分の法則
答え・解説を見る

正解A. 三角形の法則または平行四辺形の法則

ポイント：ベクトルの加法

aの終点にbの始点を置く三角形の法則などで和を表します。
三角形の法則と平行四辺形の法則によるベクトルの和
三角形の法則と平行四辺形の法則によるベクトルの和
Q7 ベクトルの垂直 ★☆☆

\(\vec a=(2,1)\) に垂直なベクトルは？

  1. \((1,2)\)
  2. \((1,-2)\)
  3. \((2,-1)\)
  4. \((-2,-1)\)
答え・解説を見る

正解B. \((1,-2)\)

ポイント：ベクトルの垂直

\((2,1)\cdot(1,-2)=2-2=0\) です。
Q8 ベクトルの垂直条件 ★☆☆

零でない2ベクトル \(\vec a,\vec b\) が垂直である条件は？

  1. \(\vec a\cdot\vec b=0\)
  2. \(\vec a=\vec b\)
  3. \(|\vec a|=|\vec b|\)
  4. \(\vec a+\vec b=\vec0\)
答え・解説を見る

正解A. \(\vec a\cdot\vec b=0\)

ポイント：ベクトルの垂直条件

なす角が90°ならcos90°=0なので内積は0です。
Q9 ベクトルの実数倍 ★☆☆

実数kに対し、\(|k\vec a|\) は？

  1. \(|k||\vec a|\)
  2. \(k+|\vec a|\)
  3. \(k^2|\vec a|\)
  4. \(|\vec a|/k\)
答え・解説を見る

正解A. \(|k||\vec a|\)

ポイント：ベクトルの実数倍

実数倍では大きさが|k|倍になります。
Q10 ベクトルの実数倍 ★☆☆

\(\vec a=(2,-1)\) のとき、\(3\vec a\) は？

  1. \((5,2)\)
  2. \((6,-3)\)
  3. \((6,-1)\)
  4. \((2,-3)\)
答え・解説を見る

正解B. \((6,-3)\)

ポイント：ベクトルの実数倍

各成分を3倍して(6,−3)です。
Q11 ベクトルの平行条件 ★☆☆

\(\vec a=(a_1,a_2),\vec b=(b_1,b_2)\) が平行である条件は？

  1. \(a_1b_2-a_2b_1=0\)
  2. a_1b_1+a_2b_2=0
  3. a_1+a_2=b_1+b_2
  4. a_1b_2+a_2b_1=1
答え・解説を見る

正解A. \(a_1b_2-a_2b_1=0\)

ポイント：ベクトルの平行条件

2つのベクトルが実数倍の関係になる条件です。
Q12 ベクトルの成分計算 ★☆☆

\(\vec a=(2,-1),\vec b=(3,4)\) のとき、\(\vec a+\vec b\) は？

  1. \((5,3)\)
  2. \((1,5)\)
  3. \((6,-4)\)
  4. \((-1,-5)\)
答え・解説を見る

正解A. \((5,3)\)

ポイント：ベクトルの成分計算

対応する成分を加えて(5,3)です。
Q13 ベクトルの減法 ★☆☆

\(\vec a-\vec b\) と等しいものは？

  1. \(\vec a+(-\vec b)\)
  2. \(-\vec a+\vec b\)
  3. \(\vec a+\vec b\)
  4. \(-\vec a-\vec b\)
答え・解説を見る

正解A. \(\vec a+(-\vec b)\)

ポイント：ベクトルの減法

ベクトルの差は、逆ベクトルを加えることとして定義します。
Q14 ベクトルの相等 ★☆☆

2つのベクトルが等しい条件は？

  1. 大きさと向きがともに等しい
  2. 大きさだけが等しい
  3. 始点が等しい
  4. 終点が等しい
答え・解説を見る

正解A. 大きさと向きがともに等しい

ポイント：ベクトルの相等

位置によらず、大きさと向きが一致すれば同じベクトルです。
Q15 一直線上の条件 ★☆☆

3点A、B、Pが一直線上にある条件として適切なのは？

  1. \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}\) となる実数tがある
  2. \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)
  3. |AP|=|AB|
  4. \(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB}=\vec0\)
答え・解説を見る

正解A. \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}\) となる実数tがある

ポイント：一直線上の条件

同一直線上の方向ベクトルは実数倍の関係になります。
Q16 位置ベクトル ★☆☆

点A、Bの位置ベクトルを \(\vec a,\vec b\) とすると、\(\overrightarrow{AB}\) は？

  1. \(\vec b-\vec a\)
  2. \(\vec a-\vec b\)
  3. \(\vec a+\vec b\)
  4. \(\dfrac{\vec a+\vec b}{2}\)
答え・解説を見る

正解A. \(\vec b-\vec a\)

ポイント：位置ベクトル

終点の位置ベクトルから始点の位置ベクトルを引きます。
Q17 共面条件 ★★☆

4点O,A,B,Cが同一平面上にある条件として適切なのは？

  1. \(\overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\) となる実数s,tがある
  2. \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)
  3. |OA|=|OB|=|OC|
  4. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec0\)
答え・解説を見る

正解A. \(\overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\) となる実数s,tがある

ポイント：共面条件

OCが同じ平面を張る2ベクトルOA、OBの一次結合で表されます。
Q18 内分点の位置ベクトル ★☆☆

線分ABをAP:PB=m:nに内分する点Pの位置ベクトルは？

  1. \(\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}\)
  2. \(\dfrac{m\vec a+n\vec b}{m+n}\)
  3. \(\dfrac{\vec a+\vec b}{m+n}\)
  4. \(m\vec a+n\vec b\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}\)

ポイント：内分点の位置ベクトル

Aには反対側の比n、Bには反対側の比mを掛けます。
Q19 内積となす角 ★☆☆

\(|\vec a|=2,|\vec b|=3,\vec a\cdot\vec b=3\) のとき、なす角は？

  1. \(30^\circ\)
  2. \(60^\circ\)
  3. \(90^\circ\)
  4. \(120^\circ\)
答え・解説を見る

正解B. \(60^\circ\)

ポイント：内積となす角

\(\cos\theta=3/(2\cdot3)=1/2\) よりθ=60°です。
Q20 内積と大きさ ★☆☆

\(|\vec a|^2\) と等しいものは？

  1. \(\vec a\cdot\vec a\)
  2. \(\vec a+\vec a\)
  3. \(\vec a-\vec a\)
  4. \(|\vec a|\)
答え・解説を見る

正解A. \(\vec a\cdot\vec a\)

ポイント：内積と大きさ

ベクトル自身との内積は大きさの2乗です。
Q21 内積による展開 ★☆☆

\(|\vec a+\vec b|^2\) を内積で展開すると？

  1. \(|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\)
  2. \(|\vec a|^2+|\vec b|^2\)
  3. \(|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\)
  4. \(2|\vec a||\vec b|\)
答え・解説を見る

正解A. \(|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\)

ポイント：内積による展開

ベクトルの平方も通常の展開と同様に内積を用います。
Q22 内積の定義 ★☆☆

2つのベクトルのなす角をθとすると、内積 \(\vec a\cdot\vec b\) は？

  1. \(|\vec a||\vec b|\cos\theta\)
  2. \(|\vec a||\vec b|\sin\theta\)
  3. \(|\vec a|+|\vec b|\)
  4. \(\vec a+\vec b\)
答え・解説を見る

正解A. \(|\vec a||\vec b|\cos\theta\)

ポイント：内積の定義

内積は大きさの積と角の余弦の積です。
Q23 内積の成分表示 ★☆☆

\(\vec a=(a_1,a_2),\vec b=(b_1,b_2)\) の内積は？

  1. \(a_1b_1+a_2b_2\)
  2. a_1b_2+a_2b_1
  3. a_1+a_2+b_1+b_2
  4. a_1b_1-a_2b_2
答え・解説を見る

正解A. \(a_1b_1+a_2b_2\)

ポイント：内積の成分表示

対応する成分の積を加えます。
Q24 内積の計算 ★☆☆

\(\vec a=(1,2),\vec b=(3,-1)\) の内積は？

  1. \(-1\)
  2. \(1\)
  3. \(5\)
  4. \(7\)
答え・解説を見る

正解B. \(1\)

ポイント：内積の計算

\(1\cdot3+2\cdot(-1)=1\) です。
Q25 円のベクトル方程式 ★☆☆

中心C、半径rの円上の点Pが満たすベクトル方程式は？

  1. \(|\vec p-\vec c|=r\)
  2. \(\vec p\cdot\vec c=r\)
  3. \(|\vec p+\vec c|=r^2\)
  4. \(\vec p=t\vec c\)
答え・解説を見る

正解A. \(|\vec p-\vec c|=r\)

ポイント：円のベクトル方程式

中心CからPまでの距離が一定rです。
Q26 単位ベクトル ★☆☆

\(\vec a\ne\vec0\) と同じ向きの単位ベクトルは？

  1. \(\dfrac{\vec a}{|\vec a|}\)
  2. \(|\vec a|\vec a\)
  3. \(-\dfrac{\vec a}{|\vec a|}\)
  4. \(\dfrac{\vec a}{|\vec a|^2}\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac{\vec a}{|\vec a|}\)

ポイント：単位ベクトル

aをその大きさで割ると、向きを保ったまま大きさ1になります。
Q27 平面のベクトル方程式 ★☆☆

点Aを通り法線ベクトル \(\vec n\) をもつ平面上の点Pの条件は？

  1. \(\vec n\cdot\overrightarrow{AP}=0\)
  2. \(\vec n=\overrightarrow{AP}\)
  3. \(|\overrightarrow{AP}|=|\vec n|\)
  4. \(\vec n+\overrightarrow{AP}=\vec0\)
答え・解説を見る

正解A. \(\vec n\cdot\overrightarrow{AP}=0\)

ポイント：平面のベクトル方程式

平面内の方向APは法線nと垂直です。
Q28 平面の平行条件 ★☆☆

2平面の法線ベクトルが平行なら、2平面の関係は？

  1. 平行または一致
  2. 必ず垂直
  3. 必ず1点で交わる
  4. ねじれの位置
答え・解説を見る

正解A. 平行または一致

ポイント：平面の平行条件

法線方向が同じなので平面の向きが同じです。
Q29 平面の法線ベクトル ★☆☆

平面 \(ax+by+cz+d=0\) の法線ベクトルは？

  1. \((a,b,c)\)
  2. (x,y,z)
  3. (a+d,b+d,c+d)
  4. (1,1,1)
答え・解説を見る

正解A. \((a,b,c)\)

ポイント：平面の法線ベクトル

x、y、zの係数を成分にもつベクトルが平面に垂直です。
空間内の平面とそれに垂直な法線ベクトル
空間内の平面とそれに垂直な法線ベクトル
Q30 成分と大きさ ★☆☆

\(\vec a=(3,4)\) の大きさは？

  1. \(4\)
  2. \(5\)
  3. \(7\)
  4. \(25\)
答え・解説を見る

正解B. \(5\)

ポイント：成分と大きさ

\(|\vec a|=\sqrt{3^2+4^2}=5\) です。
Q31 正射影 ★★☆

\(\vec b\) 方向への \(\vec a\) の正射影の長さは？（\(\vec b\ne0\)）

  1. \(\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}\)
  2. \(\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|^2}\)
  3. \(|\vec a||\vec b|\)
  4. \(\vec a\cdot\vec b\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}\)

ポイント：正射影

\(|a|\cos\theta=(a\cdot b)/|b|\) です。
ベクトルaをベクトルbの方向へ正射影する図
ベクトルaをベクトルbの方向へ正射影する図
Q32 点と平面の距離 ★★☆

点Pから平面 \(ax+by+cz+d=0\) までの距離公式の分母は？

  1. \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
  2. a+b+c
  3. a^2+b^2+c^2
  4. \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
答え・解説を見る

正解A. \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

ポイント：点と平面の距離

法線ベクトル(a,b,c)の大きさで割ります。
Q33 球面の方程式 ★☆☆

中心C(a,b,c)、半径rの球面の方程式は？

  1. \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)
  2. (x+a)^2+(y+b)^2+(z+c)^2=r
  3. x^2+y^2+z^2=a+b+c
  4. ax+by+cz=r
答え・解説を見る

正解A. \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)

ポイント：球面の方程式

中心から球面上の点までの距離がrです。
Q34 直線と平面の垂直 ★☆☆

直線の方向ベクトルと平面の法線ベクトルが平行なら、直線と平面は？

  1. 垂直
  2. 平行
  3. 必ず一致
  4. 判定不能
答え・解説を見る

正解A. 垂直

ポイント：直線と平面の垂直

平面に垂直な方向が法線方向です。
Q35 直線のベクトル方程式 ★☆☆

点Aを通り方向ベクトル \(\vec d\) に平行な直線上の点Pは？

  1. \(\vec p=\vec a+t\vec d\)
  2. \(\vec p=t\vec a+\vec d\)
  3. \(\vec p=\vec a\cdot\vec d\)
  4. \(\vec p=\vec a-\vec d\)
答え・解説を見る

正解A. \(\vec p=\vec a+t\vec d\)

ポイント：直線のベクトル方程式

基準点Aから方向dへ実数t倍進んだ点全体を表します。
Q36 空間の2点間距離 ★☆☆

空間の2点A(1,2,3)、B(4,6,3)間の距離は？

  1. \(3\)
  2. \(4\)
  3. \(5\)
  4. \(7\)
答え・解説を見る

正解C. \(5\)

ポイント：空間の2点間距離

差は(3,4,0)なので距離は5です。
Q37 空間ベクトルの内積 ★☆☆

\(\vec a=(1,2,3),\vec b=(2,0,-1)\) の内積は？

  1. \(-1\)
  2. \(0\)
  3. \(1\)
  4. \(5\)
答え・解説を見る

正解A. \(-1\)

ポイント：空間ベクトルの内積

\(1\cdot2+2\cdot0+3\cdot(-1)=-1\) です。
Q38 空間ベクトルの大きさ ★☆☆

空間ベクトル \(\vec a=(a_1,a_2,a_3)\) の大きさは？

  1. \(\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)
  2. a_1+a_2+a_3
  3. a_1^2+a_2^2+a_3^2
  4. \(\sqrt{a_1+a_2+a_3}\)
答え・解説を見る

正解A. \(\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

ポイント：空間ベクトルの大きさ

3成分の2乗和の平方根です。
Q39 重心の位置ベクトル ★☆☆

三角形ABCの重心Gの位置ベクトルは？

  1. \(\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}\)
  2. \(\dfrac{\vec a+\vec b}{2}\)
  3. \(\vec a+\vec b+\vec c\)
  4. \(\dfrac{\vec b+\vec c}{3}\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}\)

ポイント：重心の位置ベクトル

三角形の重心は3頂点の位置ベクトルの平均です。
Q40 零ベクトル ★☆☆

零ベクトル \(\vec0\) の大きさは？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. 定義されない
  4. \(-1\)
答え・解説を見る

正解A. \(0\)

ポイント：零ベクトル

すべての成分が0なので大きさも0です。