数学瞬発トレーニング 数学B・統計的な推測

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統計的な推測の問題一覧

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科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 数列 45 統計的な推測 40 数学と社会生活 25
分野
すべて 40 確率変数 1 確率分布 1 確率変数の分布 1 期待値 1 期待値の性質 1 分散 1 分散の性質 1 標準偏差 1 二項分布 1 二項分布の確率 3 二項分布の期待値 2 二項分布の分散 2 正規分布 1 標準化 2 標準正規分布 1 正規分布の対称性 2 正規分布の確率 2 母集団と標本 1 標本平均の期待値 1 標本平均の標準偏差 1 標準誤差 1 中心極限定理 1 母平均の点推定 1 母平均の信頼区間 2 信頼度 1 信頼区間と標本数 1 母比率の点推定 1 母比率の標準誤差 1 帰無仮説 1 有意水準 1 p値 1 p値による検定 1
40問
Q1 p値 ★★☆

仮説検定におけるp値とは？

  1. 帰無仮説のもとで、観測結果以上に極端な結果が得られる確率
  2. 帰無仮説が正しい確率
  3. 対立仮説が正しい確率
  4. 標本数の割合
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正解A. 帰無仮説のもとで、観測結果以上に極端な結果が得られる確率

ポイント：p値

p値は帰無仮説のもとで観測結果の極端さを測る確率です。
Q2 p値による検定 ★☆☆

有意水準5%の検定でp値が0.03だった。通常の判断は？

  1. 帰無仮説を棄却する
  2. 帰無仮説を必ず正しいとする
  3. 判断を行えない
  4. 標本数を0にする
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正解A. 帰無仮説を棄却する

ポイント：p値による検定

p値0.03は0.05より小さいため、5%水準で帰無仮説を棄却します。
Q3 中心極限定理 ★☆☆

母集団が正規分布でなくても、標本数が十分大きいと標本平均の分布は何に近づく？

  1. 正規分布
  2. 一様分布
  3. 二項分布
  4. 必ず元の分布と同じ
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正解A. 正規分布

ポイント：中心極限定理

中心極限定理により、標本平均の分布は近似的に正規分布になります。
Q4 二項分布 ★☆☆

独立なベルヌーイ試行をn回行った成功回数Xが従う分布は？

  1. 二項分布
  2. 正規分布
  3. 一様分布
  4. 標準正規分布
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正解A. 二項分布

ポイント：二項分布

成功確率が一定の独立試行における成功回数は二項分布に従います。
Q5 二項分布の分散 ★☆☆

\(X\sim B(n,p)\) の分散は？

  1. \(np\)
  2. \(np^2\)
  3. \(np(1-p)\)
  4. \(\sqrt{np(1-p)}\)
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正解C. \(np(1-p)\)

ポイント：二項分布の分散

二項分布の分散は \(npq=np(1-p)\) です。
Q6 二項分布の分散 ★☆☆

\(X\sim B(10,0.3)\) の分散は？

  1. \(0.21\)
  2. \(2.1\)
  3. \(3\)
  4. \(7\)
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正解B. \(2.1\)

ポイント：二項分布の分散

\(V(X)=10\times0.3\times0.7=2.1\) です。
Q7 二項分布の期待値 ★☆☆

\(X\sim B(n,p)\) の期待値は？

  1. \(p\)
  2. \(np\)
  3. \(np(1-p)\)
  4. \(\sqrt{np(1-p)}\)
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正解B. \(np\)

ポイント：二項分布の期待値

二項分布の期待値は試行回数×成功確率のnpです。
Q8 二項分布の期待値 ★☆☆

\(X\sim B(10,0.3)\) の期待値は？

  1. \(0.3\)
  2. \(3\)
  3. \(7\)
  4. \(10\)
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正解B. \(3\)

ポイント：二項分布の期待値

\(E(X)=np=10\times0.3=3\) です。
Q9 二項分布の確率 ★☆☆

\(X\sim B(n,p)\) のとき、\(P(X=k)\) は？

  1. \({}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}\)
  2. \({}_nC_kp^{n-k}(1-p)^k\)
  3. \(np\)
  4. \(\dfrac{k}{n}p\)
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正解A. \({}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}\)

ポイント：二項分布の確率

k回成功する並び方と、成功・失敗の確率を掛けます。
二項分布の成功回数ごとの確率を表す棒グラフ
二項分布の成功回数ごとの確率を表す棒グラフ
Q10 二項分布の確率 ★☆☆

公平な硬貨を3回投げ、表の回数をXとする。\(P(X=2)\) は？

  1. \(\dfrac18\)
  2. \(\dfrac38\)
  3. \(\dfrac12\)
  4. \(\dfrac34\)
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正解B. \(\dfrac38\)

ポイント：二項分布の確率

\({}_3C_2(1/2)^2(1/2)=3/8\) です。
Q11 二項分布の確率 ★☆☆

成功確率0.2の試行を5回行うとき、1回も成功しない確率は？

  1. \(0.2^5\)
  2. \(0.8^5\)
  3. \(5\times0.2\)
  4. \(1-0.8^5\)
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正解B. \(0.8^5\)

ポイント：二項分布の確率

5回すべて失敗する確率なので \(0.8^5\) です。
Q12 信頼区間と標本数 ★☆☆

他の条件が同じとき、標本数を4倍にすると信頼区間の幅はおよそ？

  1. 2倍
  2. 変わらない
  3. 1/2倍
  4. 1/4倍
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正解C. 1/2倍

ポイント：信頼区間と標本数

区間の幅は \(1/\sqrt n\) に比例するので、標本数4倍で半分です。
Q13 信頼度 ★★☆

95%信頼区間の「95%」の意味として適切なのは？

  1. 同じ方法で区間推定を繰り返すと、作られた区間の約95%が真の母数を含む
  2. 今回の母平均が95%の確率で変化する
  3. 標本の95%が必ず区間内にある
  4. 推定値が真値と95%一致する
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正解A. 同じ方法で区間推定を繰り返すと、作られた区間の約95%が真の母数を含む

ポイント：信頼度

信頼度は、推定手続きを繰り返したときの区間の被覆率を表します。
繰り返し作った信頼区間の多くが真の母平均を含む図
繰り返し作った信頼区間の多くが真の母平均を含む図
Q14 分散 ★☆☆

確率変数Xの平均を \(\mu\) とすると、分散 \(V(X)\) は？

  1. \(E\{(X-\mu)^2\}\)
  2. \(E(X-\mu)\)
  3. \(\{E(X)\}^2\)
  4. \(\sqrt{E(X)}\)
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正解A. \(E\{(X-\mu)^2\}\)

ポイント：分散

平均との差の2乗の期待値が分散です。
Q15 分散の性質 ★☆☆

定数a、bについて、\(V(aX+b)\) は？

  1. \(aV(X)+b\)
  2. \(a^2V(X)\)
  3. \(a^2V(X)+b\)
  4. \(V(X)+a+b\)
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正解B. \(a^2V(X)\)

ポイント：分散の性質

定数加算は分散を変えず、定数倍aにより分散はa²倍になります。
Q16 帰無仮説 ★☆☆

仮説検定で、まず正しいと仮定して検討する仮説は？

  1. 帰無仮説
  2. 対立仮説
  3. 標本仮説
  4. 信頼仮説
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正解A. 帰無仮説

ポイント：帰無仮説

差や効果がないという形で置くことが多い仮説を帰無仮説といいます。
Q17 有意水準 ★☆☆

有意水準5%とは、帰無仮説が正しいのに誤って棄却する確率を最大何%にする基準？

  1. 1%
  2. 5%
  3. 50%
  4. 95%
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正解B. 5%

ポイント：有意水準

有意水準は第1種の誤りを許容する上限です。
Q18 期待値 ★☆☆

離散型確率変数Xの期待値 \(E(X)\) は？

  1. \(\sum xP(X=x)\)
  2. \(\sum P(X=x)\)
  3. \(\sum x^2\)
  4. \(\sqrt{V(X)}\)
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正解A. \(\sum xP(X=x)\)

ポイント：期待値

各値にその確率を掛けて合計します。
Q19 期待値の性質 ★☆☆

定数a、bについて、\(E(aX+b)\) は？

  1. \(aE(X)+b\)
  2. \(a^2E(X)+b\)
  3. \(E(X)+a+b\)
  4. \(aE(X)\)
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正解A. \(aE(X)+b\)

ポイント：期待値の性質

期待値は線形性をもち、\(E(aX+b)=aE(X)+b\) です。
Q20 標本平均の期待値 ★☆☆

母平均がμの母集団から大きさnの無作為標本を取るとき、標本平均 \(\overline X\) の期待値は？

  1. \(0\)
  2. \(\mu\)
  3. \(\dfrac{\mu}{n}\)
  4. \(n\mu\)
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正解B. \(\mu\)

ポイント：標本平均の期待値

標本平均は母平均の不偏推定量で、期待値はμです。
Q21 標本平均の標準偏差 ★☆☆

母標準偏差がσのとき、大きさnの標本平均の標準偏差は？

  1. \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)
  2. \(\dfrac{\sigma}{n}\)
  3. \(\sigma\sqrt n\)
  4. \(n\sigma\)
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正解A. \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)

ポイント：標本平均の標準偏差

標本平均の標準偏差は \(\sigma/\sqrt n\) で、標準誤差ともいいます。
Q22 標準偏差 ★☆☆

確率変数Xの標準偏差 \(\sigma(X)\) は？

  1. \(V(X)^2\)
  2. \(\sqrt{V(X)}\)
  3. \(\dfrac1{V(X)}\)
  4. \(E(X)+V(X)\)
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正解B. \(\sqrt{V(X)}\)

ポイント：標準偏差

標準偏差は分散の正の平方根です。
Q23 標準化 ★☆☆

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) を標準化した変数Zは？

  1. \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\)
  2. \(Z=\dfrac{X+\mu}{\sigma}\)
  3. \(Z=\dfrac{X-\sigma}{\mu}\)
  4. \(Z=X\sigma+\mu\)
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正解A. \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\)

ポイント：標準化

平均を引いて標準偏差で割ると、平均0・分散1になります。
Q24 標準化 ★☆☆

\(X\sim N(50,10^2)\) のとき、X=70に対応する標準得点zは？

  1. \(1\)
  2. \(2\)
  3. \(5\)
  4. \(7\)
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正解B. \(2\)

ポイント：標準化

\(z=(70-50)/10=2\) です。
Q25 標準正規分布 ★☆☆

標準正規分布 \(N(0,1)\) の平均と標準偏差は？

  1. 平均0、標準偏差1
  2. 平均1、標準偏差0
  3. 平均0、標準偏差0
  4. 平均1、標準偏差1
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正解A. 平均0、標準偏差1

ポイント：標準正規分布

標準正規分布は平均0、分散1なので標準偏差も1です。
Q26 標準誤差 ★☆☆

母標準偏差20、大きさ100の標本平均の標準偏差は？

  1. \(0.2\)
  2. \(2\)
  3. \(10\)
  4. \(20\)
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正解B. \(2\)

ポイント：標準誤差

\(20/\sqrt{100}=20/10=2\) です。
Q27 正規分布 ★☆☆

正規分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) を定める2つの母数は？

  1. 平均と分散
  2. 中央値と範囲
  3. 最頻値と四分位範囲
  4. 標本数と有意水準
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正解A. 平均と分散

ポイント：正規分布

正規分布は平均μと分散σ²によって形と位置が決まります。
Q28 正規分布の対称性 ★☆☆

Zが標準正規分布に従うとき、\(P(Z\leq0)\) は？

  1. \(0\)
  2. \(0.25\)
  3. \(0.5\)
  4. 1
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正解C. \(0.5\)

ポイント：正規分布の対称性

正規分布は平均0について左右対称なので、左半分の確率は0.5です。
Q29 正規分布の対称性 ★☆☆

\(X\sim N(50,10^2)\) のとき、\(P(X\leq50)\) は？

  1. \(0.25\)
  2. \(0.5\)
  3. \(0.68\)
  4. 0.95
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正解B. \(0.5\)

ポイント：正規分布の対称性

50は平均なので、対称性により平均以下の確率は0.5です。
Q30 正規分布の確率 ★☆☆

標準正規分布で \(P(-1\leq Z\leq1)\) はおよそ？

  1. \(0.50\)
  2. \(0.68\)
  3. \(0.95\)
  4. \(0.997\)
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正解B. \(0.68\)

ポイント：正規分布の確率

平均から標準偏差1個以内に入る確率は約0.6827です。
標準正規分布で平均から標準偏差1以内の面積
標準正規分布で平均から標準偏差1以内の面積
Q31 正規分布の確率 ★☆☆

\(X\sim N(50,10^2)\) のとき、\(P(40\leq X\leq60)\) はおよそ？

  1. \(0.50\)
  2. \(0.68\)
  3. \(0.95\)
  4. \(0.997\)
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正解B. \(0.68\)

ポイント：正規分布の確率

平均±1標準偏差の範囲なので約0.6827です。
Q32 母平均の信頼区間 ★☆☆

母標準偏差σが既知のとき、母平均μの95%信頼区間は近似的に？

  1. \(\overline x\pm1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)
  2. \(\overline x\pm\dfrac{\sigma}{n}\)
  3. \(\mu\pm1.96\sigma\)
  4. \(\overline x\pm n\sigma\)
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正解A. \(\overline x\pm1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)

ポイント：母平均の信頼区間

標準正規分布の中央95%に対応する1.96を用います。
Q33 母平均の信頼区間 ★★☆

標本平均50、母標準偏差10、標本数100のとき、母平均の95%信頼区間は？

  1. \(48.04\leq\mu\leq51.96\)
  2. \(40\leq\mu\leq60\)
  3. \(49\leq\mu\leq51\)
  4. \(30.4\leq\mu\leq69.6\)
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正解A. \(48.04\leq\mu\leq51.96\)

ポイント：母平均の信頼区間

\(50\pm1.96\times10/\sqrt{100}=50\pm1.96\) です。
Q34 母平均の点推定 ★☆☆

母平均μの点推定に通常用いる統計量は？

  1. 標本平均
  2. 標本の最大値
  3. 標本数
  4. 有意水準
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正解A. 標本平均

ポイント：母平均の点推定

母平均の代表的な点推定量は標本平均です。
Q35 母比率の標準誤差 ★★☆

標本比率 \(\widehat p\) の標準誤差の推定値は？

  1. \(\sqrt{\dfrac{\widehat p(1-\widehat p)}n}\)
  2. \(\dfrac{\widehat p}{n}\)
  3. \(\sqrt{n\widehat p}\)
  4. \(\widehat p(1-\widehat p)\)
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正解A. \(\sqrt{\dfrac{\widehat p(1-\widehat p)}n}\)

ポイント：母比率の標準誤差

母比率を標本比率で置き換えて標準誤差を推定します。
Q36 母比率の点推定 ★☆☆

標本数nのうち特性をもつものがx個のとき、母比率pの点推定値は？

  1. \(\widehat p=\dfrac xn\)
  2. \(\widehat p=\dfrac nx\)
  3. \(\widehat p=x+n\)
  4. \(\widehat p=nx\)
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正解A. \(\widehat p=\dfrac xn\)

ポイント：母比率の点推定

標本比率x/nを母比率の点推定値として用います。
Q37 母集団と標本 ★☆☆

調査対象全体を母集団というのに対し、そこから取り出した一部を何という？

  1. 標本
  2. 母数
  3. 棄却域
  4. 確率変数
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正解A. 標本

ポイント：母集団と標本

母集団から調査のために抽出した一部を標本といいます。
Q38 確率分布 ★☆☆

離散型確率変数Xの各確率の総和 \(\sum P(X=x)\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(E(X)\)
  4. \(V(X)\)
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正解B. \(1\)

ポイント：確率分布

起こり得るすべての場合の確率を足すと1です。
Q39 確率変数 ★☆☆

試行の結果によって値が定まる変数を何という？

  1. 確率変数
  2. 母数
  3. 標本平均
  4. 有意水準
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正解A. 確率変数

ポイント：確率変数

試行結果に数値を対応させた変数を確率変数といいます。
Q40 確率変数の分布 ★☆☆

2枚の硬貨を投げ、表の枚数をXとする。\(P(X=2)\) は？

  1. \(\dfrac14\)
  2. \(\dfrac12\)
  3. \(\dfrac34\)
  4. 1
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正解A. \(\dfrac14\)

ポイント：確率変数の分布

2枚とも表となるのは4通り中1通りなので1/4です。