Q1
オイラー路
★★☆
すべての辺をちょうど1回ずつ通るオイラー路が存在する連結グラフの条件は？
- 奇数次数の頂点が0個または2個
- すべての頂点の次数が奇数
- 辺が必ず1本
- 頂点と辺の数が等しい
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正解A. 奇数次数の頂点が0個または2個
ポイント：オイラー路
奇数次数の頂点が0個なら一周する路、2個ならその2点を端点とする路が存在します。
Q2
グラフ理論
★☆☆
地点を頂点、地点間のつながりを辺で表す数学的構造は？
- グラフ（ネットワーク）
- 箱ひげ図
- 数列
- 正規分布
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正解A. グラフ（ネットワーク）
ポイント：グラフ理論
頂点と辺からなる構造をグラフといい、交通網などを表せます。
Q3
モデルの検証
★☆☆
数学を用いて社会問題を解くとき、モデル作成後に重要な作業は？
- 現実のデータと照合して妥当性を検証する
- 必ず変数を1個にする
- 計算結果を検証せず採用する
- 単位をすべて消す
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正解A. 現実のデータと照合して妥当性を検証する
ポイント：モデルの検証
モデルの結果を現実と比較し、必要なら仮定や式を修正します。
Q4
一次モデルの傾き
★☆☆
一次モデル \(y=ax+b\) におけるaの意味は？
- xが1増えたときのyの変化量
- x=0のときのy
- yの最大値
- データ数
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正解A. xが1増えたときのyの変化量
ポイント：一次モデルの傾き
aは傾きで、xが1単位増加したときにyが平均的にどれだけ変化するかを表します。
Q5
内挿
★☆☆
観測したデータ範囲の内側で値を推定することを何という？
- 内挿
- 外挿
- 標準化
- 棄却
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正解A. 内挿
ポイント：内挿
既知データの間を補って推定する方法を内挿といいます。
Q6
単利
★☆☆
元金Pを単利rでn期間運用したときの元利合計は？
- \(P(1+nr)\)
- \(P(1+r)^n\)
- \(Pnr\)
- \(P+r^n\)
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正解A. \(P(1+nr)\)
ポイント：単利
単利では毎期の利息が元金Prで一定なので、合計は \(P+Pnr\) です。
Q7
外挿
★☆☆
観測したデータ範囲の外側までモデルを延長して予測する外挿の注意点は？
- 範囲外でも同じ傾向が続く保証がなく、不確実性が大きい
- 内挿より必ず正確
- 誤差が必ず0
- どんなモデルでも同じ予測になる
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正解A. 範囲外でも同じ傾向が続く保証がなく、不確実性が大きい
ポイント：外挿
観測範囲外では関係が変わる可能性があり、慎重な解釈が必要です。
Q8
実行可能領域
★☆☆
条件を満たす解の集合を、最適化問題で何という？
- 実行可能領域
- 棄却域
- 標本空間
- 定義域外
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正解A. 実行可能領域
ポイント：実行可能領域
すべての制約条件を同時に満たす点の集合が実行可能領域です。
Q9
感度分析
★☆☆
前提条件を変えたとき結果がどの程度変化するか調べることを何という？
- 感度分析
- 無作為抽出
- 標準化
- 内分
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正解A. 感度分析
ポイント：感度分析
モデルの仮定や入力値への結果の敏感さを調べる方法が感度分析です。
Q10
指数的変化
★☆☆
物価が毎年3%ずつ上昇すると仮定したとき、n年後の物価指数の倍率は？
- \(1.03^n\)
- \(1+0.03n^2\)
- \(0.03^n\)
- \(\dfrac n{1.03}\)
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正解A. \(1.03^n\)
ポイント：指数的変化
前年の1.03倍が繰り返される等比的な変化です。
Q11
指数関数モデル
★☆☆
一定の割合で増加する量を長期予測するとき、一次関数より適することが多いモデルは？
- 指数関数モデル
- 定数モデル
- 反比例モデルのみ
- 円の方程式
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正解A. 指数関数モデル
ポイント：指数関数モデル
量に比例して増加分が大きくなるため、指数関数モデルが適します。
Q12
損益分岐点
★☆☆
固定費F、1個あたり販売価格p、変動費v（\(p>v\)）のとき、損益分岐点の販売個数は？
- \(\dfrac{F}{p-v}\)
- \(\dfrac{F}{p+v}\)
- \(F(p-v)\)
- \(\dfrac{p-v}{F}\)
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正解A. \(\dfrac{F}{p-v}\)
ポイント：損益分岐点
売上pxと総費用F+vxが等しい点を解くと \(x=F/(p-v)\) です。
Q13
数学的モデル
★☆☆
現実の問題を数式・グラフ・表などで表現したものを何という？
- 数学的モデル
- 帰無仮説
- 母集団
- 公理
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正解A. 数学的モデル
ポイント：数学的モデル
現実の要素を必要な範囲で抽象化し、数学で扱える形にしたものが数学的モデルです。
Q14
最短経路
★☆☆
辺に距離や時間を重みとして付けたグラフで、合計が最小の経路を何という？
- 最短経路
- 閉路
- 等差経路
- 標準経路
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正解A. 最短経路
ポイント：最短経路
辺の重みの合計が最小となる経路を最短経路といいます。
Q15
木の辺数
★☆☆
頂点がn個ある木（閉路をもたない連結グラフ）の辺の本数は？
- \(n-1\)
- \(n\)
- \(n+1\)
- \(\dfrac{n(n-1)}2\)
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正解A. \(n-1\)
ポイント：木の辺数
木では頂点を1つ加えるごとに接続用の辺が1本必要なので、辺はn−1本です。
Q16
標本の偏り
★☆☆
アンケートを自発的な回答者だけで行うと生じやすい問題は？
- 回答者の偏り
- 標本数が必ず無限になる
- 平均が必ず0になる
- 分散が計算できなくなる
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正解A. 回答者の偏り
ポイント：標本の偏り
関心の強い人が回答しやすく、母集団を代表しない標本になる可能性があります。
Q17
残差
★☆☆
観測値からモデルによる予測値を引いた値を何という？
- 残差
- 公差
- 標準得点
- 期待値
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正解A. 残差
ポイント：残差
残差＝観測値−予測値で、モデルのずれを調べるために使います。
Q18
比例配分
★☆☆
人口1000人の地域Aと500人の地域Bに、合計6議席を人口比例で配ると？
- Aに4議席、Bに2議席
- Aに3議席、Bに3議席
- Aに5議席、Bに1議席
- Aに6議席、Bに0議席
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正解A. Aに4議席、Bに2議席
ポイント：比例配分
人口比は2:1なので、6議席を4:2に配分します。
Q19
無作為抽出
★☆☆
母集団の特徴を調べるために望ましい標本抽出は？
- 無作為抽出
- 都合のよい人だけを選ぶ
- 極端な値だけを選ぶ
- 結果を見てから選ぶ
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正解A. 無作為抽出
ポイント：無作為抽出
無作為抽出により、特定の特徴へ偏る危険を小さくできます。
Q20
相関と因果
★☆☆
2変数に強い相関が見られたとき、直ちに言えることは？
- 関連は見られるが、相関だけでは因果関係は断定できない
- 必ず一方が他方の原因である
- 2変数は同じ量である
- 外れ値は存在しない
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正解A. 関連は見られるが、相関だけでは因果関係は断定できない
ポイント：相関と因果
第三の要因や偶然の可能性があり、相関だけで因果は証明できません。
Q21
線形計画法
★☆☆
一次式の目的関数を一次不等式の制約下で最大・最小にする方法は？
- 線形計画法
- 数学的帰納法
- 因数定理
- 標準化
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正解A. 線形計画法
ポイント：線形計画法
目的関数と制約が一次式で表される最適化を線形計画法といいます。
Q22
複利
★☆☆
元金Pを1期間あたり利率rの複利でn期間運用したときの元利合計は？
- \(P(1+r)^n\)
- \(P(1+nr)\)
- \(Pr^n\)
- \(P+n+r\)
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正解A. \(P(1+r)^n\)
ポイント：複利
各期間で元利合計に \(1+r\) を掛けるため、n期間後は \(P(1+r)^n\) です。
Q23
複利計算
★☆☆
10万円を年利2%の複利で3年間運用したときの元利合計はおよそ？
- 102,000円
- 104,000円
- 106,121円
- 120,000円
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正解C. 106,121円
ポイント：複利計算
\(100000\times1.02^3=106120.8\) より約106,121円です。
Q24
重み付きグラフ
★☆☆
道路網の最短時間を考えるとき、辺に与える重みとして最も直接的なのは？
- 各道路の所要時間
- 地点名の文字数
- 頂点の色
- 道路番号の大小
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正解A. 各道路の所要時間
ポイント：重み付きグラフ
目的が時間最小化なら、各辺の重みを所要時間にします。
Q25
頂点の次数
★☆☆
グラフで、1つの頂点につながる辺の本数を何という？
- 次数
- 公差
- 残差
- 階級
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正解A. 次数
ポイント：頂点の次数
頂点に接続している辺の本数をその頂点の次数といいます。