数列の問題一覧｜数学瞬発トレーニング

Q1 Σの線形性 ★☆☆

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)\) は？

\(\sum_{k=1}^n a_k+\sum_{k=1}^n b_k\)
\(\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)\)
\(\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^n b_k\)
\(\sum_{k=1}^n a_kb_k\)

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正解A. \(\sum_{k=1}^n a_k+\sum_{k=1}^n b_k\)

ポイント：Σの線形性

Σは和と定数倍について分配できます。

Q2 Σの計算 ★☆☆

\(\displaystyle\sum_{k=1}^5(2k-1)\) の値は？

\(15\)
\(20\)
\(25\)
\(30\)

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正解C. \(25\)

ポイント：Σの計算

最初の5個の奇数1+3+5+7+9の和なので25です。

Q3 Σの計算 ★☆☆

\(\displaystyle\sum_{k=1}^3 k(k+1)\) の値は？

\(12\)
\(16\)
\(20\)
\(24\)

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正解C. \(20\)

ポイント：Σの計算

1·2+2·3+3·4=2+6+12=20です。

Q4 フィボナッチ型漸化式 ★☆☆

\(a_1=a_2=1,\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) のとき、\(a_5\) は？

\(3\)
\(5\)
\(8\)
\(13\)

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正解B. \(5\)

ポイント：フィボナッチ型漸化式

数列は1,1,2,3,5,…となるので \(a_5=5\) です。

Q5 一般項 ★☆☆

数列 \(2,5,8,11,\ldots\) の一般項は？

\(a_n=2n+1\)
\(a_n=3n-1\)
\(a_n=3n+2\)
\(a_n=5n-3\)

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正解B. \(a_n=3n-1\)

ポイント：一般項

初項2、公差3なので \(a_n=2+3(n-1)=3n-1\) です。

Q6 一般項 ★☆☆

正の奇数を小さい順に並べた数列の一般項は？

\(a_n=2n\)
\(a_n=2n-1\)
\(a_n=n+1\)
\(a_n=n^2\)

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正解B. \(a_n=2n-1\)

ポイント：一般項

n=1,2,3を代入すると1,3,5となる \(2n-1\) です。

Q7 交代数列 ★☆☆

数列 \(1,-1,1,-1,\ldots\) の一般項は？

\(a_n=(-1)^n\)
\(a_n=(-1)^{n-1}\)
\(a_n=1-n\)
\(a_n=(-1)^{n+1}+1\)

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正解B. \(a_n=(-1)^{n-1}\)

ポイント：交代数列

n=1で1となり、以後符号が交互になるので \((-1)^{n-1}\) です。

Q8 定数の和 ★☆☆

定数cについて、\(\displaystyle\sum_{k=1}^n c\) は？

\(c\)
\(n+c\)
\(nc\)
\(c^n\)

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正解C. \(nc\)

ポイント：定数の和

同じ定数cをn回加えるのでncです。

Q9 帰納法による不等式 ★★☆

不等式 \(2^n\geq n+1\) の帰納法で、\(2^k\geq k+1\) から得られる評価は？

\(2^{k+1}\geq2(k+1)\geq k+2\)
\(2^{k+1}\leq k+2\)
\(2^{k+1}=k+1\)
\(2^k\geq2k+2\)

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正解A. \(2^{k+1}\geq2(k+1)\geq k+2\)

ポイント：帰納法による不等式

両辺を2倍し、k≥0なら \(2k+2\geq k+2\) を用います。

Q10 帰納法の初期確認 ★☆☆

\(1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2\) を帰納法で証明するとき、n=1で確認する等式は？

\(1=\dfrac{1\cdot2}{2}\)
\(1=0\)
\(1+2=3\)
\(\dfrac12=1\)

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正解A. \(1=\dfrac{1\cdot2}{2}\)

ポイント：帰納法の初期確認

n=1を両辺に代入し、どちらも1になることを確認します。

Q11 帰納法の推論 ★☆☆

\(1+2+\cdots+k=\dfrac{k(k+1)}2\) を仮定したとき、次に左辺へ加える項は？

\(k\)
\(k+1\)
\(2k\)
\(\dfrac{k(k+1)}2\)

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正解B. \(k+1\)

ポイント：帰納法の推論

n=k+1の場合の和にするため、仮定した和へk+1を加えます。

Q12 平方数の和 ★☆☆

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2\) は？

\(\dfrac{n(n+1)}2\)
\(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\)
\(\left\{\dfrac{n(n+1)}2\right\}^2\)
\(n^3\)

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正解B. \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\)

ポイント：平方数の和

平方数の和は \(n(n+1)(2n+1)/6\) です。

Q13 数列の項 ★☆☆

数列 \(a_1,a_2,\ldots\) の第n項を表す記号は？

\(a_n\)
\(a^n\)
\(n_a\)
\(S_n\)

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正解A. \(a_n\)

ポイント：数列の項

数列の第n項は一般に \(a_n\) と表します。

Q14 数学的帰納法 ★☆☆

数学的帰納法の基本的な2段階は？

n=1などで成立を確認し、n=kの成立からn=k+1の成立を示す
反例を1つ探し、すべての場合を計算する
微分してから積分する
必要条件だけを示す

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正解A. n=1などで成立を確認し、n=kの成立からn=k+1の成立を示す

ポイント：数学的帰納法

最初の値で成立を確かめ、次へ成立が引き継がれることを証明します。

Q15 立方数の和 ★☆☆

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3\) は？

\(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\)
\(\left\{\dfrac{n(n+1)}2\right\}^2\)
\(\dfrac{n^2(n+1)}2\)
\(n^4\)

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正解B. \(\left\{\dfrac{n(n+1)}2\right\}^2\)

ポイント：立方数の和

立方数の和は、1からnまでの和を2乗した形です。

Q16 等差中項 ★☆☆

2数a、bの間に1数xを入れて等差数列にするとき、xは？

\(a+b\)
\(\dfrac{a+b}{2}\)
\(\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{a-b}{2}\)

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正解B. \(\dfrac{a+b}{2}\)

ポイント：等差中項

a、x、bが等差数列なら \(2x=a+b\) です。

Q17 等差中項 ★☆☆

a、b、cがこの順で等差数列をなす条件は？

\(b^2=ac\)
\(2b=a+c\)
\(a+b=c\)
\(b=a+c\)

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正解B. \(2b=a+c\)

ポイント：等差中項

b−a=c−bを整理すると \(2b=a+c\) です。

Q18 等差型の漸化式 ★☆☆

\(a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+3\) で定まる数列の一般項は？

\(a_n=3n-1\)
\(a_n=3n+2\)
\(a_n=2\cdot3^{n-1}\)
\(a_n=n+2\)

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正解A. \(a_n=3n-1\)

ポイント：等差型の漸化式

初項2、公差3の等差数列なので \(a_n=2+3(n-1)=3n-1\) です。

Q19 等差型の漸化式 ★☆☆

漸化式 \(a_{n+1}=a_n+d\) が表す数列は？

公差dの等差数列
公比dの等比数列
階差がnの数列
定数数列のみ

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正解A. 公差dの等差数列

ポイント：等差型の漸化式

隣り合う項の差が常にdなので等差数列です。

Q20 等差数列の一般項 ★☆☆

初項 \(a_1\)、公差dの等差数列の一般項は？

\(a_n=a_1+nd\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=a_1d^{n-1}\)
\(a_n=na_1+d\)

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正解B. \(a_n=a_1+(n-1)d\)

ポイント：等差数列の一般項

初項から公差をn−1回加えるので \(a_n=a_1+(n-1)d\) です。

Q21 等差数列の一般項 ★☆☆

等差数列 \(3,7,11,\ldots\) の第10項は？

\(35\)
\(39\)
\(40\)
\(43\)

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正解B. \(39\)

ポイント：等差数列の一般項

\(a_{10}=3+9\cdot4=39\) です。

Q22 等差数列の公差 ★☆☆

等差数列で、隣り合う項の差を何という？

公差
公比
初項
階差

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正解A. 公差

ポイント：等差数列の公差

等差数列で一定となる差 \(a_{n+1}-a_n\) を公差といいます。

Q23 等差数列の公差 ★★☆

等差数列で \(a_3=7,a_8=22\) のとき、公差は？

\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)

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正解B. \(3\)

ポイント：等差数列の公差

\(a_8-a_3=5d=15\) よりd=3です。

Q24 等差数列の初項 ★☆☆

等差数列で \(a_5=12\)、公差3のとき、初項は？

\(0\)
\(3\)
\(6\)
\(9\)

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正解A. \(0\)

ポイント：等差数列の初項

\(a_5=a_1+4\cdot3=12\) より \(a_1=0\) です。

Q25 等差数列の和 ★☆☆

初項 \(a_1\)、公差dの等差数列の初項から第n項までの和は？

\(\dfrac n2\{2a_1+(n-1)d\}\)
\(n\{a_1+(n-1)d\}\)
\(\dfrac{a_1(1-d^n)}{1-d}\)
\(\dfrac{n(n+1)}2\)

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正解A. \(\dfrac n2\{2a_1+(n-1)d\}\)

ポイント：等差数列の和

等差数列の和は \(S_n=n\{2a_1+(n-1)d\}/2\) です。

Q26 等差数列の和 ★☆☆

\(1+2+3+\cdots+100\) の値は？

\(5000\)
\(5050\)
\(5100\)
\(10000\)

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正解B. \(5050\)

ポイント：等差数列の和

\(100\cdot(1+100)/2=5050\) です。

Q27 等差数列の和 ★☆☆

\(5+8+11+14+17+20\) の値は？

\(65\)
\(70\)
\(75\)
\(80\)

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正解C. \(75\)

ポイント：等差数列の和

項数は6なので、\(6(5+20)/2=75\) です。

Q28 等比中項 ★☆☆

正の2数a、bの間に1数xを入れて等比数列にするとき、正のxは？

\(\dfrac{a+b}{2}\)
\(\sqrt{ab}\)
\(ab\)
\(\dfrac ab\)

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正解B. \(\sqrt{ab}\)

ポイント：等比中項

a、x、bが等比数列なら \(x^2=ab\)。正のxは \(\sqrt{ab}\) です。

Q29 等比中項 ★☆☆

a、b、cがこの順で等比数列をなす条件は？

\(2b=a+c\)
\(b^2=ac\)
\(a^2=bc\)
\(ab=c\)

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正解B. \(b^2=ac\)

ポイント：等比中項

b/a=c/bを整理すると \(b^2=ac\) です。

Q30 等比型の漸化式 ★☆☆

漸化式 \(a_{n+1}=ra_n\) が表す数列は？

公差rの等差数列
公比rの等比数列
階差rの数列
必ず0になる数列

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正解B. 公比rの等比数列

ポイント：等比型の漸化式

隣り合う項の比が常にrなので等比数列です。

Q31 等比型の漸化式 ★☆☆

\(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n\) で定まる数列の一般項は？

\(a_n=2n-1\)
\(a_n=2^{n-1}\)
\(a_n=2^n\)
\(a_n=n^2\)

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正解B. \(a_n=2^{n-1}\)

ポイント：等比型の漸化式

初項1、公比2の等比数列です。

Q32 等比数列の一般項 ★☆☆

初項 \(a_1\)、公比rの等比数列の一般項は？

\(a_n=a_1r^n\)
\(a_n=a_1r^{n-1}\)
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
\(a_n=nr+a_1\)

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正解B. \(a_n=a_1r^{n-1}\)

ポイント：等比数列の一般項

初項に公比をn−1回掛けるので \(a_n=a_1r^{n-1}\) です。

Q33 等比数列の一般項 ★☆☆

等比数列 \(3,6,12,\ldots\) の第8項は？

\(192\)
\(256\)
\(384\)
\(768\)

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正解C. \(384\)

ポイント：等比数列の一般項

初項3、公比2なので \(a_8=3\cdot2^7=384\) です。

Q34 等比数列の一般項 ★☆☆

等比数列 \(81,27,9,\ldots\) の第5項は？

\(1\)
\(\dfrac13\)
3
9

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正解A. \(1\)

ポイント：等比数列の一般項

公比1/3なので、\(a_5=81(1/3)^4=1\) です。

Q35 等比数列の公比 ★☆☆

等比数列で、隣り合う項の比を何という？

公差
公比
等比中項
階差

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正解B. 公比

ポイント：等比数列の公比

等比数列で一定となる比 \(a_{n+1}/a_n\) を公比といいます。

Q36 等比数列の公比 ★★☆

等比数列で \(a_2=6,a_5=162\)、公比が正のとき、公比は？

\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(6\)

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正解B. \(3\)

ポイント：等比数列の公比

\(a_5/a_2=r^3=27\) より、正の公比はr=3です。

Q37 等比数列の和 ★☆☆

初項a、公比 \(r\ne1\) の等比数列の初項から第n項までの和は？

\(\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\)
\(\dfrac n2\{2a+(n-1)r\}\)
\(ar^{n-1}\)
\(\dfrac{a(1-r)}{1-r^n}\)

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正解A. \(\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\)

ポイント：等比数列の和

等比数列の和は \(S_n=a(1-r^n)/(1-r)\) です。

Q38 等比数列の和 ★☆☆

\(1+2+4+\cdots+2^9\) の値は？

\(511\)
\(512\)
\(1023\)
\(1024\)

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正解C. \(1023\)

ポイント：等比数列の和

10項の等比数列なので \((1-2^{10})/(1-2)=1023\) です。

Q39 等比数列の和 ★☆☆

\(3+6+12+24\) の値は？

\(42\)
\(45\)
\(48\)
\(51\)

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正解B. \(45\)

ポイント：等比数列の和

初項3、公比2、4項なので \(3(2^4-1)=45\) です。

Q40 自然数の和 ★☆☆

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k\) は？

\(\dfrac{n(n+1)}2\)
\(\dfrac{n(n-1)}2\)
\(n^2\)
\(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\)

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正解A. \(\dfrac{n(n+1)}2\)

ポイント：自然数の和

1からnまでの和は \(n(n+1)/2\) です。

Q41 部分分数と和 ★★☆

\(\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{k(k+1)}\) は？

\(\dfrac1{n+1}\)
\(\dfrac n{n+1}\)
\(\dfrac{n+1}{n}\)
n

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正解B. \(\dfrac n{n+1}\)

ポイント：部分分数と和

\(1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1)\) と分解すると中間項が消え、\(n/(n+1)\) です。

Q42 階差型の漸化式 ★★☆

\(a_1=0,\ a_{n+1}=a_n+2n\) で定まる数列の一般項は？

\(a_n=n(n-1)\)
\(a_n=n^2\)
\(a_n=2n\)
\(a_n=n(n+1)\)

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正解A. \(a_n=n(n-1)\)

ポイント：階差型の漸化式

\(a_n=2\sum_{k=1}^{n-1}k=n(n-1)\) です。

Q43 階差型の漸化式 ★★☆

\(a_1=1,\ a_{n+1}-a_n=2n+1\) で定まる数列の一般項は？

\(a_n=n\)
\(a_n=2n-1\)
\(a_n=n^2\)
\(a_n=n^2+1\)

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正解C. \(a_n=n^2\)

ポイント：階差型の漸化式

差を初項から加えると \(a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)=n^2\) です。

Q44 階差数列 ★☆☆

数列 \(a_n=n^2\) の階差 \(a_{n+1}-a_n\) は？

\(n\)
\(2n\)
\(2n+1\)
\(n^2+1\)

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正解C. \(2n+1\)

ポイント：階差数列

\((n+1)^2-n^2=2n+1\) です。

Q45 隣接二項間漸化式 ★★☆

\(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1\) で定まる数列の一般項は？

\(a_n=2^n-1\)
\(a_n=2^{n-1}\)
\(a_n=2n-1\)
\(a_n=2^n+1\)

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正解A. \(a_n=2^n-1\)

ポイント：隣接二項間漸化式

\(b_n=a_n+1\) とおくと \(b_{n+1}=2b_n,b_1=2\)。よって \(a_n=2^n-1\) です。