積分法の問題一覧｜数学瞬発トレーニング

Q1 2曲線間の面積 ★☆☆

区間[a,b]でf(x)≥g(x)のとき、2曲線間の面積は？

\(\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\)
\(\int_a^b\{f(x)+g(x)\}dx\)
\(\int_a^b\{g(x)-f(x)\}dx\)
f(b)-g(a)

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正解A. \(\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\)

ポイント：2曲線間の面積

上側の関数から下側の関数を引いて積分します。

Q2 2曲線間の面積 ★☆☆

数学Ⅲの積分で、曲線 \(y=x\) と \(y=x^2\) に囲まれる面積は？

\(\dfrac16\)
\(\dfrac13\)
\(\dfrac12\)
1

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正解A. \(\dfrac16\)

ポイント：2曲線間の面積

交点0、1の間で上側はy=xなので、\(\int_0^1(x-x^2)dx=1/6\) です。

Q3 べき関数の積分 ★☆☆

実数α≠−1について、\(\int x^\alpha dx\) は？（\(x>0\)）

\(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)
\(\alpha x^{\alpha-1}+C\)
\(\dfrac{x^\alpha}{\alpha}+C\)
\(x^{\alpha+1}+C\)

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正解A. \(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)

ポイント：べき関数の積分

指数を1増やし、その指数で割ります。

Q4 三角関数の定積分 ★☆☆

\(\int_0^\pi\sin x\,dx\) の値は？

\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(\pi\)

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正解C. \(2\)

ポイント：三角関数の定積分

\([-\cos x]_0^\pi=1-(-1)=2\) です。

Q5 三角関数の定積分 ★★☆

\(\int_0^{\pi/2}\cos^2x\,dx\) の値は？

\(\dfrac12\)
\(\dfrac{\pi}{4}\)
\(\dfrac{\pi}{2}\)
1

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正解B. \(\dfrac{\pi}{4}\)

ポイント：三角関数の定積分

\(\cos^2x=(1+\cos2x)/2\) を使うとπ/4です。

Q6 三角関数の面積 ★☆☆

曲線 \(y=\sin x\) とx軸で0≤x≤πに囲まれる面積は？

\(1\)
\(2\)
\(\pi\)
\(2\pi\)

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正解B. \(2\)

ポイント：三角関数の面積

0≤x≤πでsin x≥0なので、面積は \(\int_0^\pi\sin xdx=2\) です。

Q7 余弦関数の積分 ★☆☆

\(\int\cos x\,dx\) は？

\(\sin x+C\)
\(-\sin x+C\)
\(\cos x+C\)
\(-\cos x+C\)

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正解A. \(\sin x+C\)

ポイント：余弦関数の積分

sin xを微分するとcos xです。

Q8 偶関数の定積分 ★☆☆

fが偶関数のとき、\(\int_{-a}^a f(x)dx\) は？

\(0\)
\(2\int_0^a f(x)dx\)
\(\int_0^a f(x)dx\)
\(-2\int_0^a f(x)dx\)

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正解B. \(2\int_0^a f(x)dx\)

ポイント：偶関数の定積分

左右の積分が等しいため、0からaまでの積分の2倍です。

Q9 円環法 ★☆☆

外半径R(x)、内半径r(x)の回転体の体積は？

\(\pi\int_a^b\{R(x)^2-r(x)^2\}dx\)
\(\pi\int_a^b\{R(x)-r(x)\}dx\)
\(2\pi\int_a^bR(x)r(x)dx\)
\(\int_a^b\{R(x)+r(x)\}dx\)

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正解A. \(\pi\int_a^b\{R(x)^2-r(x)^2\}dx\)

ポイント：円環法

各断面は円環なので、外円の面積から内円の面積を引きます。

Q10 回転体の体積 ★☆☆

y=f(x)≥0をa≤x≤bでx軸の周りに回転した立体の体積は？

\(\pi\int_a^b\{f(x)\}^2dx\)
\(2\pi\int_a^b f(x)dx\)
\(\int_a^b\pi f(x)dx\)
\(\pi\int_a^b f'(x)dx\)

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正解A. \(\pi\int_a^b\{f(x)\}^2dx\)

ポイント：回転体の体積

xで切った断面は半径f(x)の円なので、断面積πf(x)²を積分します。

Q11 回転体の体積 ★☆☆

0≤x≤1で直線y=xをx軸の周りに回転した立体の体積は？

\(\dfrac\pi3\)
\(\dfrac\pi2\)
\(\pi\)
\(2\pi\)

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正解A. \(\dfrac\pi3\)

ポイント：回転体の体積

\(V=\pi\int_0^1x^2dx=\pi/3\) です。

Q12 回転体の体積 ★☆☆

0≤x≤1で \(y=\sqrt{x}\) をx軸の周りに回転した体積は？

\(\dfrac\pi2\)
\(\dfrac\pi3\)
\(\pi\)
\(2\pi\)

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正解A. \(\dfrac\pi2\)

ポイント：回転体の体積

\(V=\pi\int_0^1(\sqrt{x})^2dx=\pi\int_0^1x dx=\pi/2\) です。

Q13 奇関数の定積分 ★☆☆

fが奇関数のとき、\(\int_{-a}^a f(x)dx\) は？

\(0\)
\(2\int_0^a f(x)dx\)
\(\int_0^a f(x)dx\)
計算不能

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正解A. \(0\)

ポイント：奇関数の定積分

原点対称な区間では正負の面積が打ち消し合います。

Q14 媒介変数表示の曲線長 ★★☆

媒介変数表示x=x(t)、y=y(t)の曲線長は？

\(\int_\alpha^\beta\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt\)
\(\int_\alpha^\beta(dx/dt+dy/dt)dt\)
\(\int_\alpha^\beta x(t)y(t)dt\)
\(\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}\)

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正解A. \(\int_\alpha^\beta\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt\)

ポイント：媒介変数表示の曲線長

tの微小変化に対するx方向・y方向の変化に三平方の定理を使います。

Q15 定積分と和の極限 ★★☆

連続関数fについて、\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac kn\right)\) は？

\(\int_0^1 f(x)dx\)
\(\int_1^n f(x)dx\)
f(1)-f(0)
\(\int_0^1 f'(x)dx\)

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正解A. \(\int_0^1 f(x)dx\)

ポイント：定積分と和の極限

区間[0,1]をn等分した右端点によるリーマン和です。

Q16 定積分と和の極限 ★★☆

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^n\left(\dfrac kn\right)^2\) は？

\(\dfrac13\)
\(\dfrac12\)
1
\(\pi\)

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正解A. \(\dfrac13\)

ポイント：定積分と和の極限

\(\int_0^1x^2dx=1/3\) に対応するリーマン和です。

Q17 定積分の置換積分 ★☆☆

定積分でu=g(x)と置換するとき、積分区間は？

xの端点をu=g(x)に代入した端点へ変える
必ず0から1にする
変えずにxの端点を使う
上下端を必ず逆にする

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正解A. xの端点をu=g(x)に代入した端点へ変える

ポイント：定積分の置換積分

変数をuに変えたら、上下端もuの値へ変換します。

Q18 定積分の部分積分 ★☆☆

定積分の部分積分 \(\int_a^b f(x)g'(x)dx\) は？

\([f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx\)
[f'(x)g'(x)]_a^b
\(\int_a^b f'(x)g(x)dx\)
[f(x)+g(x)]_a^b

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正解A. \([f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx\)

ポイント：定積分の部分積分

不定積分の部分積分に端点評価を加えた形です。

Q19 対数を生じる定積分 ★☆☆

\(\int_1^e\dfrac1x dx\) の値は？

\(0\)
\(1\)
\(e-1\)
e

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正解B. \(1\)

ポイント：対数を生じる定積分

\([\log x]_1^e=1-0=1\) です。

Q20 対数を生じる積分 ★☆☆

\(\int\dfrac1x dx\) は？

\(\log|x|+C\)
\(\dfrac1{x^2}+C\)
\(x\log x+C\)
e^x+C

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正解A. \(\log|x|+C\)

ポイント：対数を生じる積分

1/xの原始関数は定義域の各区間で \(\log|x|\) です。

Q21 対数を生じる積分 ★☆☆

\(\int\dfrac1{x+1}\,dx\) は？

\(\log|x+1|+C\)
\(\log|x|+C\)
\(\dfrac1{(x+1)^2}+C\)
\((x+1)\log(x+1)+C\)

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正解A. \(\log|x+1|+C\)

ポイント：対数を生じる積分

u=x+1とおけば、1/uの積分になります。

Q22 微分積分学の基本定理 ★☆☆

F'(x)=f(x)のとき、\(\int_a^b f(x)dx\) は？

\(F(b)-F(a)\)
F(a)-F(b)
f(b)-f(a)
F(a)+F(b)

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正解A. \(F(b)-F(a)\)

ポイント：微分積分学の基本定理

微分積分学の基本定理により原始関数の端点の差で計算します。

Q23 指数関数の積分 ★☆☆

\(\int e^x dx\) は？

\(e^x+C\)
\(xe^{x-1}+C\)
\(\log x+C\)
\(\dfrac1{e^x}+C\)

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正解A. \(e^x+C\)

ポイント：指数関数の積分

eˣは微分しても積分しても同じ形です。

Q24 指数関数の積分 ★☆☆

\(\int a^x dx\) は？（\(a>0,a\ne1\)）

\(\dfrac{a^x}{\log a}+C\)
\(a^x\log a+C\)
\(\dfrac{a^{x+1}}{x+1}+C\)
xa^{x-1}+C

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正解A. \(\dfrac{a^x}{\log a}+C\)

ポイント：指数関数の積分

aˣの微分でlog aが掛かるため、積分ではlog aで割ります。

Q25 断面積と体積 ★☆☆

断面積がA(x)で表される立体のa≤x≤bでの体積は？

\(\int_a^b A(x)dx\)
A(b)-A(a)
\(\pi\int_a^b A(x)^2dx\)
\(\int_a^b A'(x)dx\)

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正解A. \(\int_a^b A(x)dx\)

ポイント：断面積と体積

薄い断面の体積A(x)dxを積み重ねて積分します。

Q26 曲線とx軸の面積 ★☆☆

区間[a,b]でf(x)≥0のとき、曲線y=f(x)とx軸で囲まれる面積は？

\(\int_a^b f(x)dx\)
\(-\int_a^b f(x)dx\)
f(b)-f(a)
\(\int_a^b f'(x)dx\)

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正解A. \(\int_a^b f(x)dx\)

ポイント：曲線とx軸の面積

関数が非負なら定積分がそのまま面積になります。

Q27 曲線の長さ ★★☆

曲線y=f(x)のa≤x≤bにおける長さは？

\(\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx\)
\(\int_a^b|f'(x)|dx\)
\(\int_a^b f(x)dx\)
\(\sqrt{(b-a)^2+\{f(b)-f(a)\}^2}\)

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正解A. \(\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx\)

ポイント：曲線の長さ

微小な横幅dxと縦の変化f'(x)dxに三平方の定理を使います。

Q28 正弦関数の積分 ★☆☆

\(\int\sin x\,dx\) は？

\(-\cos x+C\)
\(\cos x+C\)
\(\sin x+C\)
\(-\sin x+C\)

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正解A. \(-\cos x+C\)

ポイント：正弦関数の積分

−cos xを微分するとsin xです。

Q29 正接を生じる積分 ★☆☆

\(\int\dfrac1{\cos^2x}\,dx\) は？

\(\tan x+C\)
\(-\tan x+C\)
\(\sin x+C\)
\(\log|\cos x|+C\)

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正解A. \(\tan x+C\)

ポイント：正接を生じる積分

tan xの導関数が1/cos²xです。

Q30 無理関数の積分 ★☆☆

\(x>0\) で \(\int\dfrac1{\sqrt{x}}dx\) は？

\(2\sqrt{x}+C\)
\(\dfrac1{2\sqrt{x}}+C\)
\(\sqrt{x}+C\)
\(\log x+C\)

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正解A. \(2\sqrt{x}+C\)

ポイント：無理関数の積分

xの−1/2乗として積分すると \(2x^{1/2}+C\) です。

Q31 積分で定義された関数 ★☆☆

\(F(x)=\int_a^x f(t)dt\) のとき、\(F'(x)\) は？（fは連続）

\(f(x)\)
f(a)
\(\int_a^x f'(t)dt\)
f(x)-f(a)

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正解A. \(f(x)\)

ポイント：積分で定義された関数

微分積分学の基本定理により、上端xでの被積分関数の値になります。

Q32 置換積分法 ★☆☆

置換積分で \(u=g(x)\) とおくと、\(du\) は？

\(du=g'(x)dx\)
du=g(x)dx
du=dx/g'(x)
du=g'(u)dx

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正解A. \(du=g'(x)dx\)

ポイント：置換積分法

uをxで微分して微分形式にすると \(du=g'(x)dx\) です。

Q33 置換積分法 ★☆☆

\(\int2x\cos(x^2)dx\) は？

\(\sin(x^2)+C\)
\(2\sin x+C\)
\(x^2\sin(x^2)+C\)
\(\cos(x^2)+C\)

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正解A. \(\sin(x^2)+C\)

ポイント：置換積分法

u=x²とおくとdu=2x dxなので、∫cos u duです。

Q34 速度と変位 ★☆☆

速度v(t)から時刻aからbまでの変位を求める式は？

\(\int_a^b v(t)dt\)
\(\int_a^b|v(t)|dt\)
v(b)-v(a)
\(\int_a^b v'(t)dt\)

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正解A. \(\int_a^b v(t)dt\)

ポイント：速度と変位

速度を時間で積分すると位置の変化量、すなわち変位になります。

Q35 速度と移動距離 ★☆☆

速度v(t)から時刻aからbまでの移動距離を求める式は？

\(\int_a^b|v(t)|dt\)
\(\int_a^b v(t)dt\)
|v(b)-v(a)|
\(\int_a^b v'(t)dt\)

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正解A. \(\int_a^b|v(t)|dt\)

ポイント：速度と移動距離

逆向きの運動も正の距離として数えるため、速度の絶対値を積分します。

Q36 部分分数分解と積分 ★★☆

\(\int\dfrac1{x(x+1)}dx\) は？

\(\log|x|-\log|x+1|+C\)
\(\log|x(x+1)|+C\)
\(\dfrac1x-\dfrac1{x+1}+C\)
\(\log|x|+\log|x+1|+C\)

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正解A. \(\log|x|-\log|x+1|+C\)

ポイント：部分分数分解と積分

\(1/[x(x+1)]=1/x-1/(x+1)\) と部分分数分解します。

Q37 部分分数分解と積分 ★★☆

a>0のとき、\(\int\dfrac1{x^2-a^2}dx\) は？

\(\dfrac1{2a}\log\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C\)
\(\dfrac1a\log|x^2-a^2|+C\)
\(\dfrac1{x-a}-\dfrac1{x+a}+C\)
\(\log|x-a|+\log|x+a|+C\)

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正解A. \(\dfrac1{2a}\log\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C\)

ポイント：部分分数分解と積分

\(1/(x^2-a^2)=\{1/(2a)\}\{1/(x-a)-1/(x+a)\}\) と分解します。

Q38 部分積分法 ★☆☆

部分積分の公式 \(\int f(x)g'(x)dx\) は？

\(f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\)
\(f'(x)g(x)+\int f(x)g'(x)dx\)
\(\int f'(x)g'(x)dx\)
f(x)g(x)+C

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正解A. \(f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\)

ポイント：部分積分法

積の微分公式を積分して変形した公式です。

Q39 部分積分法 ★☆☆

\(\int xe^x dx\) は？

\((x-1)e^x+C\)
xe^x+C
(x+1)e^x+C
\(\dfrac{x^2}2e^x+C\)

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正解A. \((x-1)e^x+C\)

ポイント：部分積分法

xを微分する側、eˣを積分する側として部分積分します。

Q40 関数の平均値 ★☆☆

関数fの区間[a,b]における平均値は？

\(\dfrac1{b-a}\int_a^b f(x)dx\)
\(\dfrac{f(a)+f(b)}2\)
\(\int_a^b f(x)dx\)
\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

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正解A. \(\dfrac1{b-a}\int_a^b f(x)dx\)

ポイント：関数の平均値

定積分を区間の長さb−aで割ったものが関数の平均値です。