数学瞬発トレーニング 数学Ⅲ・極限

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極限の問題一覧

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科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 極限 35 微分法 40 積分法 40
分野
すべて 35 数列の極限 1 無限大への発散 1 有理式の数列の極限 2 振動する数列 1 等比数列の極限 1 eの定義 1 はさみうちの原理 1 漸化式と極限 1 正の無限大への発散 1 無限級数の収束 1 無限等比級数の収束条件 1 無限等比級数の和 4 発散する無限級数 1 調和級数 1 望遠鏡型級数 1 循環小数と無限級数 1 多項式の極限 1 不定形の極限 1 有理化による極限 1 三角関数の基本極限 3 指数関数の基本極限 1 対数関数の基本極限 1 無限遠での極限 1 無限遠での有理式の極限 1 指数関数と多項式の極限 1 連続性 1 区分関数の連続性 1 中間値の定理 1 垂直漸近線 1
35問
Q1 eの定義 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n\) は？

  1. \(1\)
  2. \(2\)
  3. \(e\)
  4. \(+\infty\)
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正解C. \(e\)

ポイント：eの定義

自然対数の底eを定める代表的な極限です。
数列1+1/nのn乗が自然対数の底eへ近づく図
数列1+1/nのn乗が自然対数の底eへ近づく図
Q2 はさみうちの原理 ★★☆

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}\) は？

  1. \(-1\)
  2. 0
  3. 1
  4. 存在しない
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正解B. 0

ポイント：はさみうちの原理

\(|\sin n/n|\leq1/n\to0\) なので、はさみうちの原理により0です。
Q3 三角関数の基本極限 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(+\infty\)
  4. 存在しない
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正解B. \(1\)

ポイント：三角関数の基本極限

三角関数の微分の基礎となる基本極限です。
単位円を用いたsin xとxの基本極限の図
単位円を用いたsin xとxの基本極限の図
Q4 三角関数の基本極限 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(\dfrac12\)
  4. 存在しない
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正解B. \(1\)

ポイント：三角関数の基本極限

\(\tan x/x=(\sin x/x)(1/\cos x)\) より1です。
Q5 三角関数の基本極限 ★★☆

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\) は？

  1. \(0\)
  2. \(\dfrac12\)
  3. 1
  4. 2
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正解B. \(\dfrac12\)

ポイント：三角関数の基本極限

\(1-\cos x=2\sin^2(x/2)\) を用いると極限は1/2です。
Q6 不定形の極限 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(2\)
  4. \(+\infty\)
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正解C. \(2\)

ポイント：不定形の極限

x≠1で \((x^2-1)/(x-1)=x+1\) なので極限は2です。
Q7 中間値の定理 ★☆☆

閉区間で連続な関数が両端で異符号の値をとるとき、区間内に零点が存在することを保証する定理は？

  1. 中間値の定理
  2. 平均値の定理
  3. 二項定理
  4. 因数定理
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正解A. 中間値の定理

ポイント：中間値の定理

連続関数は両端の値の間をすべて通るため、0となる点が存在します。
Q8 区分関数の連続性 ★★☆

\(f(x)=\begin{cases}x+1&(x<0)\\k&(x\geq0)\end{cases}\) がx=0で連続となるkは？

  1. \(-1\)
  2. \(0\)
  3. \(1\)
  4. \(2\)
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正解C. \(1\)

ポイント：区分関数の連続性

左極限は1で、関数値f(0)=kと一致する必要があるためk=1です。
Q9 垂直漸近線 ★☆☆

x=aが関数f(x)の垂直漸近線となる典型的な条件は？

  1. \(x\to a\) で \(|f(x)|\to\infty\)
  2. f(a)=0
  3. f'(a)=0
  4. \(x\to\infty\) で \(f(x)\to a\)
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正解A. \(x\to a\) で \(|f(x)|\to\infty\)

ポイント：垂直漸近線

xがaへ近づくと関数値の絶対値が無限に大きくなるとき、x=aが垂直漸近線です。
Q10 多項式の極限 ★☆☆

多項式f(x)について、\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) は？

  1. \(f(a)\)
  2. \(f'(a)\)
  3. 0
  4. 必ず存在しない
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正解A. \(f(a)\)

ポイント：多項式の極限

多項式はすべての実数で連続なので、直接代入できます。
Q11 対数関数の基本極限 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\log(1+x)}{x}\) は？（logは自然対数）

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(e\)
  4. 存在しない
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正解B. \(1\)

ポイント：対数関数の基本極限

自然対数の微分につながる基本極限で、値は1です。
Q12 循環小数と無限級数 ★☆☆

循環小数 \(0.333\ldots\) を無限等比級数として表した値は？

  1. \(\dfrac13\)
  2. \(\dfrac3{10}\)
  3. \(\dfrac{33}{100}\)
  4. 1
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正解A. \(\dfrac13\)

ポイント：循環小数と無限級数

\(3/10+3/100+\cdots\) は初項3/10、公比1/10で、和は1/3です。
Q13 指数関数と多項式の極限 ★★☆

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}xe^{-x}\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(e\)
  4. \(+\infty\)
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正解A. \(0\)

ポイント：指数関数と多項式の極限

指数関数の増加は多項式より速いため、\(x/e^x\to0\) です。
Q14 指数関数の基本極限 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(e\)
  4. \(+\infty\)
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正解B. \(1\)

ポイント：指数関数の基本極限

指数関数 \(e^x\) のx=0での微分係数を表す基本極限です。
Q15 振動する数列 ★☆☆

数列 \(a_n=(-1)^n\) の極限は？

  1. \(-1\)
  2. 0
  3. 1
  4. 存在しない
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正解D. 存在しない

ポイント：振動する数列

−1と1を交互にとり、1つの値に近づかないため極限は存在しません。
Q16 数列の極限 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(\infty\)
  4. 収束しない
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正解A. \(0\)

ポイント：数列の極限

nを大きくすると1/nはいくらでも0に近づきます。
Q17 有理化による極限 ★★☆

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}\) は？

  1. \(0\)
  2. \(\dfrac12\)
  3. 1
  4. 2
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正解B. \(\dfrac12\)

ポイント：有理化による極限

分子を有理化すると \(1/(\sqrt{1+x}+1)\) となり、極限は1/2です。
Q18 有理式の数列の極限 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2+1}{2n^2-3}\) は？

  1. \(0\)
  2. \(\dfrac12\)
  3. 1
  4. 2
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正解B. \(\dfrac12\)

ポイント：有理式の数列の極限

分子・分母をn²で割ると、最高次係数の比1/2に収束します。
Q19 有理式の数列の極限 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+1}{n-2}\) は？

  1. \(1\)
  2. \(2\)
  3. \(3\)
  4. \(+\infty\)
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正解C. \(3\)

ポイント：有理式の数列の極限

分子・分母をnで割ると3に収束します。
Q20 望遠鏡型級数 ★★☆

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n(n+1)}\) の和は？

  1. \(\dfrac12\)
  2. \(1\)
  3. \(2\)
  4. \(+\infty\)
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正解B. \(1\)

ポイント：望遠鏡型級数

\(1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)\) とすると中間項が消え、和は1です。
Q21 正の無限大への発散 ★☆☆

数列 \(a_n\) が正の無限大に発散することの意味は？

  1. nを十分大きくすればaₙはいくらでも大きくできる
  2. すべてのnでaₙが無限大になる
  3. aₙが0に近づく
  4. aₙが周期的になる
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正解A. nを十分大きくすればaₙはいくらでも大きくできる

ポイント：正の無限大への発散

任意の大きな正数を超える状態が、ある番号以降ずっと続くことを表します。
Q22 漸化式と極限 ★★☆

数列が \(a_{n+1}=\dfrac{a_n+2}{2}\) を満たし、極限αに収束するとき、αは？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(2\)
  4. \(4\)
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正解C. \(2\)

ポイント：漸化式と極限

両辺の極限をとると \(\alpha=(\alpha+2)/2\) よりα=2です。
Q23 無限大への発散 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(+\infty\)
  4. \(-\infty\)
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正解C. \(+\infty\)

ポイント：無限大への発散

nは上限なく増加するので正の無限大に発散します。
Q24 無限等比級数の収束条件 ★☆☆

初項a、公比rの無限等比級数が収束する条件は？

  1. \(|r|<1\)
  2. \(|r|\leq1\)
  3. \(r>1\)
  4. \(r\ne0\)
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正解A. \(|r|<1\)

ポイント：無限等比級数の収束条件

公比の絶対値が1未満のときに限り部分和が収束します。
Q25 無限等比級数の和 ★☆☆

\(|r|<1\) のとき、初項a、公比rの無限等比級数の和は？

  1. \(\dfrac{a}{1-r}\)
  2. \(\dfrac{a}{1+r}\)
  3. \(\dfrac{1-r}{a}\)
  4. ar
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正解A. \(\dfrac{a}{1-r}\)

ポイント：無限等比級数の和

有限和の極限から \(S=a/(1-r)\) です。
Q26 無限等比級数の和 ★☆☆

\(1+\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots\) の和は？

  1. \(1\)
  2. \(2\)
  3. \(3\)
  4. \(+\infty\)
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正解B. \(2\)

ポイント：無限等比級数の和

初項1、公比1/2なので、和は \(1/(1-1/2)=2\) です。
長さを半分ずつ加えて全体2へ近づく無限等比級数
長さを半分ずつ加えて全体2へ近づく無限等比級数
Q27 無限等比級数の和 ★☆☆

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac12\right)^n\) の和は？

  1. \(\dfrac12\)
  2. \(1\)
  3. \(2\)
  4. \(+\infty\)
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正解B. \(1\)

ポイント：無限等比級数の和

初項1/2、公比1/2なので、和は1です。
Q28 無限等比級数の和 ★★☆

\(3-1+\dfrac13-\dfrac19+\cdots\) の和は？

  1. \(2\)
  2. \(\dfrac94\)
  3. \(\dfrac32\)
  4. 3
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正解B. \(\dfrac94\)

ポイント：無限等比級数の和

初項3、公比−1/3なので、\(3/(1+1/3)=9/4\) です。
Q29 無限級数の収束 ★☆☆

無限級数 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) が収束するとは？

  1. 部分和の数列が有限の値に収束する
  2. 一般項aₙが必ず1になる
  3. 項数が有限である
  4. すべての項が正である
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正解A. 部分和の数列が有限の値に収束する

ポイント：無限級数の収束

無限級数の収束は、初項から第n項までの部分和の極限で定義します。
Q30 無限遠での有理式の極限 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+1}{x^2-3x}\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(2\)
  4. \(+\infty\)
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正解C. \(2\)

ポイント：無限遠での有理式の極限

分子・分母をx²で割ると、最高次係数の比2に収束します。
Q31 無限遠での極限 ★☆☆

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac1x\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(+\infty\)
  4. \(-\infty\)
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正解A. \(0\)

ポイント：無限遠での極限

xが正に大きくなると1/xは0へ近づきます。
Q32 発散する無限級数 ★☆☆

無限級数 \(1+1+1+\cdots\) は？

  1. 0に収束
  2. 1に収束
  3. 正の無限大に発散
  4. 振動
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正解C. 正の無限大に発散

ポイント：発散する無限級数

部分和はnとなり、正の無限大へ発散します。
Q33 等比数列の極限 ★☆☆

\(|r|<1\) のとき、\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(r\)
  4. \(+\infty\)
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正解A. \(0\)

ポイント：等比数列の極限

絶対値が1未満の数を繰り返し掛けると0に近づきます。
Q34 調和級数 ★★☆

調和級数 \(1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots\) は？

  1. 0に収束
  2. 1に収束
  3. 有限値に収束
  4. 発散
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正解D. 発散

ポイント：調和級数

一般項は0に近づきますが、部分和は上限なく増え、級数は発散します。
Q35 連続性 ★☆☆

関数f(x)がx=aで連続である条件は？

  1. \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
  2. f'(a)=0
  3. f(a)=0
  4. \(\lim_{x\to a}f(x)=0\)
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正解A. \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)

ポイント：連続性

極限が存在し、その値が関数値と一致することが連続の条件です。