数学瞬発トレーニング 数学Ⅲ・微分法

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微分法の問題一覧

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科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 極限 35 微分法 40 積分法 40
分野
すべて 40 積の微分 2 商の微分 2 合成関数の微分 4 逆関数の微分 1 実数べき関数の微分 1 根号を含む関数の微分 1 分数関数の微分 1 正弦関数の微分 1 余弦関数の微分 1 正接関数の微分 1 自然指数関数の微分 1 指数関数の微分 1 自然対数の微分 1 対数関数の微分 1 対数微分法 1 陰関数の微分 1 無理関数の微分 1 高次導関数 1 媒介変数表示の微分 2 指数関数の接線 1 対数関数の接線 1 極値の必要条件 1 導関数と増減 1 第2次導関数と凹凸 1 変曲点 2 微分による最小値 1 対数関数を含む最大値 1 指数関数を含む最大値 1 平均値の定理 1 ロルの定理 1 速度と加速度 1 第2次導関数による極値判定 1 漸近線 1
40問
Q1 ロルの定理 ★☆☆

ロルの定理でf(a)=f(b)のとき保証されるものは？

  1. \(f'(c)=0\) となるcが(a,b)に存在
  2. f(c)=0となるcが必ず存在
  3. f'(x)>0
  4. f(a)=0
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正解A. \(f'(c)=0\) となるcが(a,b)に存在

ポイント：ロルの定理

平均変化率が0なので、それと等しい導関数をもつ点が存在します。
Q2 余弦関数の微分 ★☆☆

\((\cos x)'\) は？

  1. \(\sin x\)
  2. \(-\sin x\)
  3. \(\cos x\)
  4. \(-\cos x\)
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正解B. \(-\sin x\)

ポイント：余弦関数の微分

余弦関数の導関数は負の正弦関数です。
Q3 分数関数の微分 ★☆☆

\(y=\dfrac1x\) の導関数は？

  1. \(-\dfrac1{x^2}\)
  2. \(\dfrac1{x^2}\)
  3. \(-\dfrac1x\)
  4. \(\log x\)
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正解A. \(-\dfrac1{x^2}\)

ポイント：分数関数の微分

\(x^{-1}\) を微分すると \(-x^{-2}\) です。
Q4 合成関数の微分 ★☆☆

合成関数 \(y=f(g(x))\) の導関数は？

  1. \(f'(g(x))g'(x)\)
  2. \(f'(x)g'(x)\)
  3. \(f(g'(x))\)
  4. \(f'(g(x))\)
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正解A. \(f'(g(x))g'(x)\)

ポイント：合成関数の微分

外側を微分し、内側の導関数を掛ける連鎖律を使います。
Q5 合成関数の微分 ★☆☆

\(y=\sin2x\) の導関数は？

  1. \(2\cos2x\)
  2. \(\cos2x\)
  3. \(-2\sin2x\)
  4. \(2\sin x\)
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正解A. \(2\cos2x\)

ポイント：合成関数の微分

合成関数の微分により、内側2xの導関数2を掛けます。
Q6 合成関数の微分 ★☆☆

\(y=\log(x^2+1)\) の導関数は？

  1. \(\dfrac{2x}{x^2+1}\)
  2. \(\dfrac1{x^2+1}\)
  3. \(\dfrac2{x^2+1}\)
  4. \(2x\log(x^2+1)\)
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正解A. \(\dfrac{2x}{x^2+1}\)

ポイント：合成関数の微分

\((\log u)'=u'/u\) にu=x²+1を代入します。
Q7 合成関数の微分 ★☆☆

\(y=e^{3x}\) の導関数は？

  1. \(3e^{3x}\)
  2. \(e^{3x}\)
  3. \(3e^x\)
  4. \(e^{x+3}\)
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正解A. \(3e^{3x}\)

ポイント：合成関数の微分

内側3xの導関数3を掛けます。
Q8 商の微分 ★☆☆

\(g\ne0\) のとき、商 \(\dfrac fg\) の導関数は？

  1. \(\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\)
  2. \(\dfrac{f'g+fg'}{g^2}\)
  3. \(\dfrac{f'}{g'}\)
  4. \(\dfrac{fg'-f'g}{g}\)
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正解A. \(\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\)

ポイント：商の微分

商の微分公式は分母がg²、分子がf'g−fg'です。
Q9 商の微分 ★☆☆

\(y=\dfrac{x}{x+1}\) の導関数は？

  1. \(\dfrac1{(x+1)^2}\)
  2. \(\dfrac1{x+1}\)
  3. \(-\dfrac1{(x+1)^2}\)
  4. \(\dfrac{x^2}{(x+1)^2}\)
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正解A. \(\dfrac1{(x+1)^2}\)

ポイント：商の微分

商の微分より \(\{(x+1)-x\}/(x+1)^2\) です。
Q10 変曲点 ★☆☆

変曲点で通常確認することは？

  1. f''の符号が変わる
  2. fが必ず0になる
  3. f'が存在しない
  4. x座標が必ず0
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正解A. f''の符号が変わる

ポイント：変曲点

変曲点ではグラフの凹凸が変わるため、f''の符号変化を確認します。
Q11 変曲点 ★☆☆

関数 \(y=x^3\) の変曲点は？

  1. \((0,0)\)
  2. \((1,1)\)
  3. \((-1,-1)\)
  4. 存在しない
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正解A. \((0,0)\)

ポイント：変曲点

y''=6xはx=0を境に符号が変わるので、原点が変曲点です。
三次関数y=x³が原点で凹凸を変える図
三次関数y=x³が原点で凹凸を変える図
Q12 媒介変数表示の微分 ★☆☆

x=f(t)、y=g(t)で表された曲線の \(dy/dx\) は？（\(dx/dt\ne0\)）

  1. \(\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)
  2. \(\dfrac{dx/dt}{dy/dt}\)
  3. \(\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{dx}{dt}\)
  4. \(\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dx}{dt}\)
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正解A. \(\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)

ポイント：媒介変数表示の微分

媒介変数tに関する変化率の比をとります。
Q13 媒介変数表示の微分 ★☆☆

x=t²、y=t³のとき、t≠0で \(dy/dx\) は？

  1. \(\dfrac{3t}{2}\)
  2. \(\dfrac{2}{3t}\)
  3. 3t^2
  4. 2t
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正解A. \(\dfrac{3t}{2}\)

ポイント：媒介変数表示の微分

\((dy/dt)/(dx/dt)=3t^2/(2t)=3t/2\) です。
Q14 実数べき関数の微分 ★☆☆

実数αについて、\((x^\alpha)'\) は？（\(x>0\)）

  1. \(\alpha x^{\alpha-1}\)
  2. \(x^{\alpha-1}\)
  3. \(\alpha x^\alpha\)
  4. \(x^{\alpha+1}/(\alpha+1)\)
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正解A. \(\alpha x^{\alpha-1}\)

ポイント：実数べき関数の微分

整数以外の実数指数にもべき関数の微分公式が拡張されます。
Q15 対数微分法 ★★☆

\(y=x^x\) の導関数は？（\(x>0\)）

  1. \(x^x(\log x+1)\)
  2. \(x^{x-1}\)
  3. \(x^x\log x\)
  4. \(2x^x\)
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正解A. \(x^x(\log x+1)\)

ポイント：対数微分法

\(\log y=x\log x\) と対数微分すると \(y'/y=\log x+1\) です。
y=xのx乗を対数微分する計算の流れ
y=xのx乗を対数微分する計算の流れ
Q16 対数関数の微分 ★☆☆

\((\log_a x)'\) は？

  1. \(\dfrac1{x\log a}\)
  2. \(\dfrac1x\)
  3. \(\dfrac{\log a}{x}\)
  4. a^x
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正解A. \(\dfrac1{x\log a}\)

ポイント：対数関数の微分

底の変換 \(\log_a x=\log x/\log a\) を用います。
Q17 対数関数の接線 ★☆☆

曲線 \(y=\log x\) 上のx=1における接線は？

  1. \(y=x-1\)
  2. \(y=x+1\)
  3. \(y=\log x\)
  4. \(y=1\)
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正解A. \(y=x-1\)

ポイント：対数関数の接線

接点は(1,0)、傾きは1なので \(y=x-1\) です。
Q18 対数関数を含む最大値 ★★☆

\(x>0\) で \(f(x)=\dfrac{\log x}{x}\) が最大となるxは？

  1. \(1\)
  2. \(e\)
  3. \(e^2\)
  4. \(\dfrac1e\)
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正解B. \(e\)

ポイント：対数関数を含む最大値

\(f'=(1-\log x)/x^2\) より、x=eで増加から減少に変わります。
Q19 導関数と増減 ★☆☆

区間内で \(f'(x)>0\) のとき、f(x)は？

  1. 増加
  2. 減少
  3. 一定
  4. 必ず負
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正解A. 増加

ポイント：導関数と増減

導関数が正なら、その区間で関数は増加します。
Q20 平均値の定理 ★☆☆

平均値の定理で保証されるcの関係は？（fは[a,b]で連続、(a,b)で微分可能）

  1. \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
  2. f(c)=0
  3. f'(c)=0
  4. f(c)=f(a)+f(b)
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正解A. \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

ポイント：平均値の定理

区間全体の平均変化率と等しい接線の傾きをもつ点が存在します。
Q21 微分による最小値 ★☆☆

\(x>0\) で \(f(x)=x+\dfrac1x\) の最小値は？

  1. \(1\)
  2. \(2\)
  3. \(e\)
  4. \(4\)
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正解B. \(2\)

ポイント：微分による最小値

\(f'=1-1/x^2=0\) よりx=1で最小値2です。
Q22 指数関数の微分 ★☆☆

\((a^x)'\) は？（\(a>0,a\ne1\)）

  1. \(a^x\log a\)
  2. \(xa^{x-1}\)
  3. \(a^x\)
  4. \(\log a^x\)
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正解A. \(a^x\log a\)

ポイント：指数関数の微分

一般の指数関数では自然対数 \(\log a\) が係数になります。
Q23 指数関数の接線 ★☆☆

曲線 \(y=e^x\) 上のx=0における接線は？

  1. \(y=x+1\)
  2. \(y=x\)
  3. \(y=e x\)
  4. \(y=1\)
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正解A. \(y=x+1\)

ポイント：指数関数の接線

接点は(0,1)、傾きはe⁰=1なので \(y-1=x\) です。
指数関数y=eのx乗と点0,1での接線y=x+1
指数関数y=eのx乗と点0,1での接線y=x+1
Q24 指数関数を含む最大値 ★★☆

\(x>0\) で \(f(x)=xe^{-x}\) の最大値は？

  1. \(\dfrac1e\)
  2. \(1\)
  3. \(e\)
  4. \(\dfrac12\)
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正解A. \(\dfrac1e\)

ポイント：指数関数を含む最大値

\(f'=e^{-x}(1-x)\) よりx=1で最大値1/eです。
Q25 根号を含む関数の微分 ★☆☆

\(y=\sqrt{x}\) の導関数は？（\(x>0\)）

  1. \(\dfrac1{2\sqrt{x}}\)
  2. \(2\sqrt{x}\)
  3. \(\dfrac1{\sqrt{x}}\)
  4. \(\sqrt{x}\)
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正解A. \(\dfrac1{2\sqrt{x}}\)

ポイント：根号を含む関数の微分

\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) として微分します。
Q26 極値の必要条件 ★☆☆

微分可能な関数が内点x=aで極値をとるための必要条件は？

  1. \(f'(a)=0\)
  2. \(f(a)=0\)
  3. \(f''(a)=0\)
  4. \(a=0\)
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正解A. \(f'(a)=0\)

ポイント：極値の必要条件

内点で微分可能なら、極値点の接線は水平です。
Q27 正弦関数の微分 ★☆☆

\((\sin x)'\) は？

  1. \(\cos x\)
  2. \(-\cos x\)
  3. \(\sin x\)
  4. \(-\sin x\)
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正解A. \(\cos x\)

ポイント：正弦関数の微分

正弦関数の導関数は余弦関数です。
Q28 正接関数の微分 ★☆☆

\((\tan x)'\) は？

  1. \(\dfrac1{\cos^2x}\)
  2. \(\dfrac1{\sin^2x}\)
  3. \(\cos^2x\)
  4. \(-\sin x\)
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正解A. \(\dfrac1{\cos^2x}\)

ポイント：正接関数の微分

\((\tan x)'=\sec^2x=1/\cos^2x\) です。
Q29 漸近線 ★☆☆

曲線 \(y=\dfrac1x\) の水平漸近線は？

  1. \(y=0\)
  2. \(x=0\)
  3. \(y=1\)
  4. \(x=1\)
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正解A. \(y=0\)

ポイント：漸近線

x→±∞で1/x→0なので、水平漸近線はy=0です。
Q30 無理関数の微分 ★★☆

\(y=\sqrt{1-x^2}\) の導関数は？（\(|x|<1\)）

  1. \(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
  2. \(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
  3. \(\dfrac1{2\sqrt{1-x^2}}\)
  4. \(-2x\sqrt{1-x^2}\)
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正解A. \(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

ポイント：無理関数の微分

合成関数の微分より、\((1/2)(1-x^2)^{-1/2}(-2x)\) です。
Q31 積の微分 ★☆☆

2つの関数f、gについて、積 \(fg\) の導関数は？

  1. \(f'g+fg'\)
  2. \(f'g'\)
  3. \(f'g-fg'\)
  4. \(fg'+g\)
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正解A. \(f'g+fg'\)

ポイント：積の微分

積の微分公式は \((fg)'=f'g+fg'\) です。
Q32 積の微分 ★☆☆

\(y=e^x\sin x\) の導関数は？

  1. \(e^x(\sin x+\cos x)\)
  2. \(e^x\cos x\)
  3. \(e^x(\sin x-\cos x)\)
  4. \(e^x\sin x\cos x\)
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正解A. \(e^x(\sin x+\cos x)\)

ポイント：積の微分

積の微分により \(e^x\sin x+e^x\cos x\) です。
Q33 第2次導関数と凹凸 ★☆☆

区間内で \(f''(x)>0\) のとき、グラフは？

  1. 下に凸
  2. 上に凸
  3. 直線
  4. 必ず減少
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正解A. 下に凸

ポイント：第2次導関数と凹凸

傾きf'が増加するため、グラフは下に凸になります。
Q34 第2次導関数による極値判定 ★☆☆

\(f'(a)=0,f''(a)>0\) のとき、f(a)は通常？

  1. 極小値
  2. 極大値
  3. 変曲点のみ
  4. 判定不能である場合しかない
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正解A. 極小値

ポイント：第2次導関数による極値判定

aの近くで下に凸かつ接線が水平なので、f(a)は極小値です。
Q35 自然対数の微分 ★☆☆

\((\log x)'\) は？（logは自然対数）

  1. \(\dfrac1x\)
  2. \(x\)
  3. \(\log x\)
  4. \(e^x\)
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正解A. \(\dfrac1x\)

ポイント：自然対数の微分

自然対数の導関数は1/xです。
Q36 自然指数関数の微分 ★☆☆

\((e^x)'\) は？

  1. \(e^x\)
  2. \(xe^{x-1}\)
  3. \(\log x\)
  4. \(1/e^x\)
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正解A. \(e^x\)

ポイント：自然指数関数の微分

自然指数関数eˣは微分しても同じ関数になります。
Q37 逆関数の微分 ★☆☆

微分可能で逆関数をもつy=f(x)について、\(\dfrac{dx}{dy}\) は？

  1. \(\dfrac1{dy/dx}\)
  2. \(\dfrac{dy}{dx}\)
  3. \(-\dfrac{dy}{dx}\)
  4. \(\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\)
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正解A. \(\dfrac1{dy/dx}\)

ポイント：逆関数の微分

導関数が0でない範囲では、逆関数の導関数は元の導関数の逆数です。
Q38 速度と加速度 ★☆☆

位置x(t)に対する速度v(t)と加速度a(t)は？

  1. \(v=x',\ a=x''\)
  2. \(v=x'',\ a=x'\)
  3. \(v=x^2,\ a=x^3\)
  4. \(v=1/x,\ a=1/x^2\)
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正解A. \(v=x',\ a=x''\)

ポイント：速度と加速度

位置を時間で1回微分すると速度、2回微分すると加速度です。
Q39 陰関数の微分 ★☆☆

円 \(x^2+y^2=1\) 上で \(y\ne0\) のとき、\(\dfrac{dy}{dx}\) は？

  1. \(-\dfrac{x}{y}\)
  2. \(\dfrac{x}{y}\)
  3. \(-\dfrac{y}{x}\)
  4. \(\dfrac1{2y}\)
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正解A. \(-\dfrac{x}{y}\)

ポイント：陰関数の微分

両辺をxで微分すると \(2x+2y\,y'=0\) です。
Q40 高次導関数 ★☆☆

関数f(x)の第2次導関数を表す記号は？

  1. \(f''(x)\)
  2. \(f(x)^2\)
  3. \(2f'(x)\)
  4. \(f^{-1}(x)\)
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正解A. \(f''(x)\)

ポイント：高次導関数

導関数f'(x)をさらに微分したものがf''(x)です。