数学瞬発トレーニング 数学Ⅲ・積分法

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積分法の問題一覧

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科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 極限 35 微分法 40 積分法 40
分野
すべて 40 べき関数の積分 1 対数を生じる積分 2 指数関数の積分 2 正弦関数の積分 1 余弦関数の積分 1 正接を生じる積分 1 無理関数の積分 1 置換積分法 2 部分積分法 2 部分分数分解と積分 2 微分積分学の基本定理 1 定積分の置換積分 1 定積分の部分積分 1 三角関数の定積分 2 対数を生じる定積分 1 奇関数の定積分 1 偶関数の定積分 1 定積分と和の極限 2 曲線とx軸の面積 1 2曲線間の面積 2 三角関数の面積 1 回転体の体積 3 円環法 1 断面積と体積 1 曲線の長さ 1 媒介変数表示の曲線長 1 速度と変位 1 速度と移動距離 1 積分で定義された関数 1 関数の平均値 1
3問
Q1 回転体の体積 ★☆☆

y=f(x)≥0をa≤x≤bでx軸の周りに回転した立体の体積は？

  1. \(\pi\int_a^b\{f(x)\}^2dx\)
  2. \(2\pi\int_a^b f(x)dx\)
  3. \(\int_a^b\pi f(x)dx\)
  4. \(\pi\int_a^b f'(x)dx\)
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正解A. \(\pi\int_a^b\{f(x)\}^2dx\)

ポイント：回転体の体積

xで切った断面は半径f(x)の円なので、断面積πf(x)²を積分します。
曲線をx軸の周りに回転し円板を積み重ねる体積図
曲線をx軸の周りに回転し円板を積み重ねる体積図
Q2 回転体の体積 ★☆☆

0≤x≤1で直線y=xをx軸の周りに回転した立体の体積は？

  1. \(\dfrac\pi3\)
  2. \(\dfrac\pi2\)
  3. \(\pi\)
  4. \(2\pi\)
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正解A. \(\dfrac\pi3\)

ポイント：回転体の体積

\(V=\pi\int_0^1x^2dx=\pi/3\) です。
Q3 回転体の体積 ★☆☆

0≤x≤1で \(y=\sqrt{x}\) をx軸の周りに回転した体積は？

  1. \(\dfrac\pi2\)
  2. \(\dfrac\pi3\)
  3. \(\pi\)
  4. \(2\pi\)
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正解A. \(\dfrac\pi2\)

ポイント：回転体の体積

\(V=\pi\int_0^1(\sqrt{x})^2dx=\pi\int_0^1x dx=\pi/2\) です。