数学瞬発トレーニング 数学Ⅱ・複素数と方程式

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複素数と方程式の問題一覧

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科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 式と証明 40 複素数と方程式 35 図形と方程式 35 三角関数 40 指数関数・対数関数 40 微分法・積分法 45
分野
すべて 35 虚数単位 1 複素数の加法 1 複素数の減法 1 複素数の乗法 1 共役複素数 2 複素数の除法 1 虚数単位の累乗 2 実部と虚部 1 解の公式 1 複素数解 3 判別式と複素数解 1 共役な複素数解 2 重解の条件 1 判別式 1 解と係数の関係 3 解から方程式を作る 2 解と係数の関係の利用 2 解の変換 1 因数定理 2 3次方程式 3 4次方程式 1 複二次方程式 1 重解 1
35問
Q1 3次方程式 ★★☆

\(x^3-1=0\) の解は？

  1. \(1,\ \dfrac{-1\pm\sqrt3i}{2}\)
  2. \(-1,\ \dfrac{1\pm\sqrt3i}{2}\)
  3. \(1,\pm i\)
  4. \(1\) のみ
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正解A. \(1,\ \dfrac{-1\pm\sqrt3i}{2}\)

ポイント：3次方程式

\((x-1)(x^2+x+1)=0\) と因数分解し、二次方程式を解きます。
Q2 3次方程式 ★★☆

\(x^3+1=0\) の解は？

  1. \(-1,\ \dfrac{1\pm\sqrt3i}{2}\)
  2. \(1,\ \dfrac{-1\pm\sqrt3i}{2}\)
  3. \(-1,\pm i\)
  4. \(-1\) のみ
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正解A. \(-1,\ \dfrac{1\pm\sqrt3i}{2}\)

ポイント：3次方程式

\((x+1)(x^2-x+1)=0\) と因数分解して解きます。
Q3 3次方程式 ★★☆

\(x^3-6x^2+11x-6=0\) の解は？

  1. \(x=1,2,3\)
  2. \(x=-1,-2,-3\)
  3. \(x=1,1,6\)
  4. \(x=2,\pm\sqrt3\)
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正解A. \(x=1,2,3\)

ポイント：3次方程式

\((x-1)(x-2)(x-3)=0\) と因数分解できるので、解は1、2、3です。
Q4 4次方程式 ★★☆

\(x^4-1=0\) の解は？

  1. \(x=\pm1,\pm i\)
  2. \(x=\pm1\)
  3. \(x=\pm i\)
  4. \(x=1,-1+i\)
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正解A. \(x=\pm1,\pm i\)

ポイント：4次方程式

\(x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)\) より、\(x=\pm1,\pm i\) です。
Q5 共役な複素数解 ★☆☆

実数係数の二次方程式が解 \(2+3i\) をもつとき、もう1つの解は？

  1. \(2-3i\)
  2. \(-2+3i\)
  3. \(-2-3i\)
  4. \(3+2i\)
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正解A. \(2-3i\)

ポイント：共役な複素数解

実数係数の方程式では、非実数解は共役な組で現れます。
複素数平面で実軸について対称な2+3iと2-3i
複素数平面で実軸について対称な2+3iと2-3i
Q6 共役な複素数解 ★★☆

実数係数の二次方程式の一方の解が \(2+i\) のとき、2解の積は？

  1. \(3\)
  2. \(4\)
  3. \(5\)
  4. \(2\)
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正解C. \(5\)

ポイント：共役な複素数解

もう一方は \(2-i\) なので、積は \((2+i)(2-i)=4+1=5\) です。
Q7 共役複素数 ★☆☆

複素数 \(3-4i\) の共役複素数は？

  1. \(-3+4i\)
  2. \(3+4i\)
  3. \(-3-4i\)
  4. \(4+3i\)
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正解B. \(3+4i\)

ポイント：共役複素数

虚部の符号だけを変えるので、共役複素数は \(3+4i\) です。
Q8 共役複素数 ★☆☆

\(z=a+bi\) のとき、\(z\overline z\) は？

  1. \(a^2-b^2\)
  2. \(a^2+b^2\)
  3. \(2ab\)
  4. \(a+b\)
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正解B. \(a^2+b^2\)

ポイント：共役複素数

\((a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\) です。
Q9 判別式 ★★☆

\(x^2+2x+k=0\) が異なる2つの実数解をもつための条件は？

  1. \(k<1\)
  2. \(k=1\)
  3. \(k>1\)
  4. \(k\leq1\)
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正解A. \(k<1\)

ポイント：判別式

\(D=4-4k>0\) より、\(k<1\) です。
Q10 判別式と複素数解 ★☆☆

実数係数の二次方程式で判別式 \(D<0\) のとき、解は？

  1. 異なる2つの実数解
  2. 1つの重解
  3. 異なる2つの共役な複素数解
  4. 解をもたない
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正解C. 異なる2つの共役な複素数解

ポイント：判別式と複素数解

複素数の範囲では必ず2解をもち、\(D<0\) なら互いに共役な非実数解です。
Q11 因数定理 ★☆☆

整式 \(f(x)\) が \(f(a)=0\) を満たすとき、\(f(x)\) がもつ因数は？

  1. \(x+a\)
  2. \(x-a\)
  3. \(ax-1\)
  4. \(x^2-a\)
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正解B. \(x-a\)

ポイント：因数定理

因数定理より、\(f(a)=0\) と \(x-a\) が因数であることは同値です。
Q12 因数定理 ★☆☆

\(f(2)=0\) である整式 \(f(x)\) が必ずもつ因数は？

  1. \(x+2\)
  2. \(x-2\)
  3. \(2x-1\)
  4. \(x^2+2\)
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正解B. \(x-2\)

ポイント：因数定理

因数定理より \(x-2\) を因数にもちます。
Q13 実部と虚部 ★☆☆

複素数 \(z=-2+5i\) の実部と虚部は？

  1. 実部−2、虚部5
  2. 実部5、虚部−2
  3. 実部−2、虚部5i
  4. 実部2、虚部−5
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正解A. 実部−2、虚部5

ポイント：実部と虚部

\(a+bi\) のaが実部、bが虚部なので、実部は−2、虚部は5です。
複素数z=-2+5iを複素数平面上に表した図
複素数z=-2+5iを複素数平面上に表した図
Q14 虚数単位 ★☆☆

虚数単位 \(i\) について成り立つ式は？

  1. \(i^2=-1\)
  2. \(i^2=1\)
  3. \(i=-1\)
  4. \(i=\sqrt1\)
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正解A. \(i^2=-1\)

ポイント：虚数単位

虚数単位は \(i^2=-1\) を満たす数として定義されます。
Q15 虚数単位の累乗 ★☆☆

\(i^4\) の値は？

  1. \(-1\)
  2. \(1\)
  3. \(i\)
  4. \(-i\)
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正解B. \(1\)

ポイント：虚数単位の累乗

\(i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1\) です。
Q16 虚数単位の累乗 ★★☆

\(i^{23}\) の値は？

  1. \(1\)
  2. \(-1\)
  3. \(i\)
  4. \(-i\)
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正解D. \(-i\)

ポイント：虚数単位の累乗

23を4で割ると余り3なので、\(i^{23}=i^3=-i\) です。
Q17 複二次方程式 ★★☆

\(x^4-5x^2+4=0\) の解は？

  1. \(x=\pm1,\pm2\)
  2. \(x=1,2\)
  3. \(x=\pm1,\pm4\)
  4. \(x=\pm2i\)
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正解A. \(x=\pm1,\pm2\)

ポイント：複二次方程式

\(X=x^2\) とおくと \((X-1)(X-4)=0\)。よって \(x=\pm1,\pm2\) です。
Q18 複素数の乗法 ★☆☆

\((2+i)(3-2i)\) は？

  1. \(4-i\)
  2. \(8-i\)
  3. \(8+i\)
  4. \(6-4i\)
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正解B. \(8-i\)

ポイント：複素数の乗法

展開すると \(6-4i+3i-2i^2=8-i\) です。
Q19 複素数の加法 ★☆☆

\((2+3i)+(1-5i)\) は？

  1. \(3-2i\)
  2. \(3+8i\)
  3. \(1-2i\)
  4. \(2-5i\)
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正解A. \(3-2i\)

ポイント：複素数の加法

実部どうし、虚部どうしを加えて、\(3-2i\) です。
Q20 複素数の減法 ★☆☆

\((4-2i)-(1+3i)\) は？

  1. \(3+i\)
  2. \(3-5i\)
  3. \(5-5i\)
  4. \(3- i\)
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正解B. \(3-5i\)

ポイント：複素数の減法

後ろの符号を変え、\(4-2i-1-3i=3-5i\) です。
Q21 複素数の除法 ★★☆

\(\dfrac1{1+i}\) を \(a+bi\) の形にすると？

  1. \(\dfrac{1+i}{2}\)
  2. \(\dfrac{1-i}{2}\)
  3. \(1-i\)
  4. \(-i\)
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正解B. \(\dfrac{1-i}{2}\)

ポイント：複素数の除法

分子・分母に \(1-i\) を掛けると、\((1-i)/(1-i^2)=(1-i)/2\) です。
Q22 複素数解 ★☆☆

\(x^2+1=0\) の解は？

  1. \(x=1\)
  2. \(x=-1\)
  3. \(x=\pm i\)
  4. 解なし
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正解C. \(x=\pm i\)

ポイント：複素数解

\(x^2=-1\) より、複素数の範囲で \(x=\pm i\) です。
Q23 複素数解 ★☆☆

\(x^2-2x+5=0\) の解は？

  1. \(x=1\pm2i\)
  2. \(x=-1\pm2i\)
  3. \(x=2\pm i\)
  4. \(x=1\pm i\)
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正解A. \(x=1\pm2i\)

ポイント：複素数解

解の公式より \(x=(2\pm\sqrt{-16})/2=1\pm2i\) です。
Q24 複素数解 ★★☆

\(x^2-4x+13=0\) の解は？

  1. \(x=2\pm3i\)
  2. \(x=-2\pm3i\)
  3. \(x=4\pm i\)
  4. \(x=2\pm i\)
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正解A. \(x=2\pm3i\)

ポイント：複素数解

\(D=16-52=-36\) より、\(x=(4\pm6i)/2=2\pm3i\) です。
Q25 解から方程式を作る ★☆☆

2と3を解にもつ、最高次の係数が1の二次方程式は？

  1. \(x^2-5x+6=0\)
  2. \(x^2+5x+6=0\)
  3. \(x^2-6x+5=0\)
  4. \(x^2+x-6=0\)
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正解A. \(x^2-5x+6=0\)

ポイント：解から方程式を作る

\((x-2)(x-3)=0\) を展開すると \(x^2-5x+6=0\) です。
Q26 解から方程式を作る ★★☆

\(1+i\) と \(1-i\) を解にもつ、最高次の係数が1の二次方程式は？

  1. \(x^2-2x+2=0\)
  2. \(x^2+2x+2=0\)
  3. \(x^2-2x-2=0\)
  4. \(x^2+2=0\)
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正解A. \(x^2-2x+2=0\)

ポイント：解から方程式を作る

解の和は2、積は2なので、\(x^2-2x+2=0\) です。
Q27 解と係数の関係 ★☆☆

二次方程式 \(2x^2-3x+1=0\) の2解の和は？

  1. \(-\dfrac32\)
  2. \(\dfrac12\)
  3. \(1\)
  4. \(\dfrac32\)
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正解D. \(\dfrac32\)

ポイント：解と係数の関係

解と係数の関係より、解の和は \(-b/a=3/2\) です。
Q28 解と係数の関係 ★☆☆

\(ax^2+bx+c=0\) の2解を \(\alpha,\beta\) とすると、\(\alpha+\beta\) は？

  1. \(\dfrac ba\)
  2. \(-\dfrac ba\)
  3. \(\dfrac ca\)
  4. \(-\dfrac ca\)
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正解B. \(-\dfrac ba\)

ポイント：解と係数の関係

二次方程式の解の和は \(-b/a\) です。
Q29 解と係数の関係 ★☆☆

\(ax^2+bx+c=0\) の2解を \(\alpha,\beta\) とすると、\(\alpha\beta\) は？

  1. \(-\dfrac ba\)
  2. \(\dfrac ba\)
  3. \(-\dfrac ca\)
  4. \(\dfrac ca\)
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正解D. \(\dfrac ca\)

ポイント：解と係数の関係

二次方程式の解の積は \(c/a\) です。
Q30 解と係数の関係の利用 ★★☆

二次方程式の2解 \(\alpha,\beta\) が \(\alpha+\beta=5,\ \alpha\beta=6\) を満たすとき、\(\alpha^2+\beta^2\) は？

  1. \(11\)
  2. \(13\)
  3. \(25\)
  4. \(31\)
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正解B. \(13\)

ポイント：解と係数の関係の利用

\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=25-12=13\) です。
Q31 解と係数の関係の利用 ★★☆

\(\alpha+\beta=4,\ \alpha\beta=3\) のとき、\(\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta\) は？

  1. \(\dfrac34\)
  2. \(\dfrac43\)
  3. \(\dfrac17\)
  4. \(7\)
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正解B. \(\dfrac43\)

ポイント：解と係数の関係の利用

\(1/\alpha+1/\beta=(\alpha+\beta)/(\alpha\beta)=4/3\) です。
Q32 解の公式 ★☆☆

二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解の公式は？

  1. \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
  2. \(x=\dfrac{b\pm\sqrt{b^2+4ac}}{2a}\)
  3. \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-2ac}}a\)
  4. \(x=-b\pm\sqrt{a+c}\)
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正解A. \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

ポイント：解の公式

判別式 \(D=b^2-4ac\) を使い、\(x=(-b\pm\sqrt D)/(2a)\) です。
Q33 解の変換 ★★☆

方程式 \(x^2-5x+6=0\) の2解を \(\alpha,\beta\) とするとき、\(\alpha+1,\beta+1\) を解にもつ方程式は？

  1. \(x^2-7x+12=0\)
  2. \(x^2-3x+2=0\)
  3. \(x^2-5x+7=0\)
  4. \(x^2+7x+12=0\)
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正解A. \(x^2-7x+12=0\)

ポイント：解の変換

元の解は2、3なので、新しい解は3、4。よって \((x-3)(x-4)=x^2-7x+12\) です。
Q34 重解 ★☆☆

複素数の範囲で \(x^2+6x+9=0\) の解は？

  1. \(x=3\)
  2. \(x=-3\)
  3. \(x=\pm3\)
  4. \(x=-3\pm i\)
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正解B. \(x=-3\)

ポイント：重解

\((x+3)^2=0\) なので、重解 \(x=-3\) です。
Q35 重解の条件 ★★☆

二次方程式 \(x^2+kx+4=0\) が重解をもつ条件は？

  1. \(k=0\)
  2. \(k=\pm2\)
  3. \(k=\pm4\)
  4. \(k=4\) のみ
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正解C. \(k=\pm4\)

ポイント：重解の条件

判別式 \(D=k^2-16=0\) より、\(k=\pm4\) です。