数学瞬発トレーニング 数学Ⅱ・指数関数・対数関数

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指数関数・対数関数の問題一覧

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科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 式と証明 40 複素数と方程式 35 図形と方程式 35 三角関数 40 指数関数・対数関数 40 微分法・積分法 45
分野
すべて 40 指数法則（積） 1 指数法則（商） 1 指数法則（累乗） 1 負の整数指数 1 分数指数 1 分数指数の計算 1 負の分数指数 2 指数関数の増減 2 指数関数の値域 1 指数関数のグラフ 1 指数関数の平行移動 1 指数方程式 3 指数不等式 2 対数の定義 1 対数の定義条件 1 対数の値 3 対数の性質（積） 1 対数の性質（商） 1 対数の性質（累乗） 1 対数の計算 2 底の変換公式 2 常用対数の計算 1 対数関数の増減 1 対数関数の定義域 1 対数関数の平行移動 1 対数方程式 3 対数不等式 1 常用対数と桁数 2
40問
Q1 分数指数 ★☆☆

\(a>0\) のとき、\(a^{1/n}\) は？

  1. \(na\)
  2. \(\dfrac an\)
  3. \(\sqrt[n]{a}\)
  4. \(\dfrac1{a^n}\)
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正解C. \(\sqrt[n]{a}\)

ポイント：分数指数

分数指数 \(1/n\) はn乗根を表します。
Q2 分数指数の計算 ★☆☆

\(8^{2/3}\) の値は？

  1. \(2\)
  2. \(4\)
  3. \(6\)
  4. \(8\)
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正解B. \(4\)

ポイント：分数指数の計算

\(8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4\) です。
Q3 対数の値 ★☆☆

\(\log_2 8\) の値は？

  1. \(2\)
  2. \(3\)
  3. \(4\)
  4. \(8\)
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正解B. \(3\)

ポイント：対数の値

\(2^3=8\) なので \(\log_2 8=3\) です。
Q4 対数の値 ★☆☆

\(\log_3 1\) の値は？

  1. \(-1\)
  2. \(0\)
  3. \(1\)
  4. \(3\)
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正解B. \(0\)

ポイント：対数の値

\(3^0=1\) なので \(\log_3 1=0\) です。
Q5 対数の値 ★☆☆

\(a>0,a\ne1\) のとき、\(\log_a a\) は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(a\)
  4. \(a^2\)
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正解B. \(1\)

ポイント：対数の値

\(a^1=a\) なので \(\log_a a=1\) です。
Q6 対数の定義 ★☆☆

\(\log_a M=p\) と同値な指数の式は？

  1. \(a^p=M\)
  2. \(M^p=a\)
  3. \(p^a=M\)
  4. \(a^M=p\)
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正解A. \(a^p=M\)

ポイント：対数の定義

対数は「aを何乗するとMになるか」を表すので \(a^p=M\) です。
Q7 対数の定義条件 ★☆☆

実数の対数 \(\log_a M\) が定義される条件は？

  1. \(a>0,a\ne1,M>0\)
  2. \(a\geq0,M\geq0\)
  3. \(a>1,M\ne0\)
  4. \(a\ne0,M\ne0\)
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正解A. \(a>0,a\ne1,M>0\)

ポイント：対数の定義条件

底は正で1以外、真数は正である必要があります。
Q8 対数の性質（商） ★☆☆

正の数M、Nについて、\(\log_a\dfrac{M}{N}\) は？

  1. \(\log_a M+\log_a N\)
  2. \(\log_a M-\log_a N\)
  3. \(\dfrac{\log_a M}{\log_a N}\)
  4. \(\log_a(M-N)\)
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正解B. \(\log_a M-\log_a N\)

ポイント：対数の性質（商）

商の対数は、分子の対数から分母の対数を引きます。
Q9 対数の性質（積） ★☆☆

正の数M、Nについて、\(\log_a(MN)\) は？

  1. \(\log_a M+\log_a N\)
  2. \(\log_a M-\log_a N\)
  3. \((\log_a M)(\log_a N)\)
  4. \(\log_a(M+N)\)
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正解A. \(\log_a M+\log_a N\)

ポイント：対数の性質（積）

積の対数は、それぞれの対数の和になります。
Q10 対数の性質（累乗） ★☆☆

正の数Mについて、\(\log_a M^k\) は？

  1. \(k\log_a M\)
  2. \((\log_a M)^k\)
  3. \(\log_a(kM)\)
  4. \(\dfrac1k\log_a M\)
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正解A. \(k\log_a M\)

ポイント：対数の性質（累乗）

真数の指数は対数の前に出せます。
Q11 対数の計算 ★☆☆

\(\log_2 12-\log_2 3\) の値は？

  1. \(1\)
  2. \(2\)
  3. \(3\)
  4. \(4\)
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正解B. \(2\)

ポイント：対数の計算

\(\log_2(12/3)=\log_2 4=2\) です。
Q12 対数の計算 ★☆☆

\(2\log_3 3+\log_3 9\) の値は？

  1. \(2\)
  2. \(3\)
  3. \(4\)
  4. \(6\)
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正解C. \(4\)

ポイント：対数の計算

\(2\cdot1+2=4\) です。
Q13 対数不等式 ★★☆

対数不等式 \(\log_{1/2}x>-2\) の解は？

  1. \(0<x<4\)
  2. \(x>4\)
  3. \(x<4\)
  4. \(0<x\leq4\)
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正解A. \(0<x<4\)

ポイント：対数不等式

底が1未満なので大小が逆転し、真数条件と合わせて \(0<x<4\) です。
Q14 対数方程式 ★☆☆

対数方程式 \(\log_2 x=5\) の解は？

  1. \(x=10\)
  2. \(x=25\)
  3. \(x=32\)
  4. \(x=64\)
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正解C. \(x=32\)

ポイント：対数方程式

対数の定義から \(x=2^5=32\) です。
Q15 対数方程式 ★☆☆

対数方程式 \(\log_3(x-1)=2\) の解は？

  1. \(x=7\)
  2. \(x=8\)
  3. \(x=9\)
  4. \(x=10\)
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正解D. \(x=10\)

ポイント：対数方程式

\(x-1=3^2=9\) より \(x=10\) です。
Q16 対数方程式 ★★☆

対数方程式 \(\log_2 x+\log_2(x-2)=3\) の解は？

  1. \(x=2\)
  2. \(x=3\)
  3. \(x=4\)
  4. \(x=6\)
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正解C. \(x=4\)

ポイント：対数方程式

真数条件は \(x>2\)。\(x(x-2)=8\) を解き、条件を満たす \(x=4\) です。
Q17 対数関数の増減 ★☆☆

\(a>1\) のとき、対数関数 \(y=\log_a x\) の増減は？

  1. 常に増加
  2. 常に減少
  3. 一定
  4. 周期的に変化
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正解A. 常に増加

ポイント：対数関数の増減

底が1より大きい対数関数は、定義域 \(x>0\) で単調に増加します。
指数関数と対数関数が直線y=xについて対称である図
指数関数と対数関数が直線y=xについて対称である図
Q18 対数関数の定義域 ★☆☆

対数関数 \(y=\log_a x\) の定義域は？

  1. \(x>0\)
  2. \(x\geq0\)
  3. \(x>1\)
  4. すべての実数
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正解A. \(x>0\)

ポイント：対数関数の定義域

対数の真数は正でなければならないので \(x>0\) です。
Q19 対数関数の平行移動 ★★☆

関数 \(y=\log_2(x-1)\) の垂直な漸近線は？

  1. \(x=-1\)
  2. \(x=0\)
  3. \(x=1\)
  4. \(y=1\)
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正解C. \(x=1\)

ポイント：対数関数の平行移動

真数 \(x-1\) が0に近づく境界なので、漸近線は \(x=1\) です。
Q20 常用対数と桁数 ★☆☆

正の整数Nの桁数を常用対数で求める式は？

  1. \(\lfloor\log_{10}N\rfloor+1\)
  2. \(\log_{10}N\)
  3. \(10\log_{10}N\)
  4. \(\lfloor N\rfloor+1\)
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正解A. \(\lfloor\log_{10}N\rfloor+1\)

ポイント：常用対数と桁数

\(10^k\leq N<10^{k+1}\) のときNは \(k+1\) 桁です。
Q21 常用対数と桁数 ★★☆

\(\log_{10}2=0.3010\) とすると、\(2^{20}\) は何桁？

  1. 6桁
  2. 7桁
  3. 8桁
  4. 20桁
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正解B. 7桁

ポイント：常用対数と桁数

\(\log_{10}2^{20}=20\times0.3010=6.020\) なので、整数部分に1を加えて7桁です。
常用対数6.020から2の20乗が7桁と分かる数直線
常用対数6.020から2の20乗が7桁と分かる数直線
Q22 常用対数の計算 ★☆☆

\(\log_{10}2=0.3010\) のとき、\(\log_{10}5\) は？

  1. \(0.3010\)
  2. \(0.5000\)
  3. \(0.6990\)
  4. \(1.3010\)
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正解C. \(0.6990\)

ポイント：常用対数の計算

\(\log10=\log2+\log5=1\) より \(\log5=1-0.3010=0.6990\) です。
Q23 底の変換公式 ★☆☆

底の変換公式で \(\log_a M\) を底cの対数で表すと？

  1. \(\dfrac{\log_c M}{\log_c a}\)
  2. \(\dfrac{\log_c a}{\log_c M}\)
  3. \(\log_c M-\log_c a\)
  4. \(\log_c(aM)\)
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正解A. \(\dfrac{\log_c M}{\log_c a}\)

ポイント：底の変換公式

底の変換公式は \(\log_a M=\log_c M/\log_c a\) です。
Q24 底の変換公式 ★★☆

\(\log_2 5\cdot\log_5 8\) の値は？

  1. \(2\)
  2. \(3\)
  3. \(5\)
  4. \(8\)
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正解B. \(3\)

ポイント：底の変換公式

底を2にそろえると \(\log_2 5\cdot(\log_2 8/\log_2 5)=3\) です。
Q25 指数不等式 ★☆☆

指数不等式 \(2^x>16\) の解は？

  1. \(x<4\)
  2. \(x>4\)
  3. \(x\geq4\)
  4. \(x>8\)
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正解B. \(x>4\)

ポイント：指数不等式

底2は1より大きく、\(16=2^4\) なので \(x>4\) です。
Q26 指数不等式 ★★☆

指数不等式 \(\left(\dfrac13\right)^x\geq9\) の解は？

  1. \(x\leq-2\)
  2. \(x\geq-2\)
  3. \(x\leq2\)
  4. \(x\geq2\)
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正解A. \(x\leq-2\)

ポイント：指数不等式

\(9=(1/3)^{-2}\)。底が1未満なので不等号が逆向きになり、\(x\leq-2\) です。
Q27 指数方程式 ★☆☆

指数方程式 \(2^x=8\) の解は？

  1. \(x=2\)
  2. \(x=3\)
  3. \(x=4\)
  4. \(x=8\)
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正解B. \(x=3\)

ポイント：指数方程式

\(8=2^3\) と底をそろえると \(x=3\) です。
Q28 指数方程式 ★☆☆

指数方程式 \(3^{2x-1}=27\) の解は？

  1. \(x=1\)
  2. \(x=2\)
  3. \(x=3\)
  4. \(x=4\)
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正解B. \(x=2\)

ポイント：指数方程式

\(27=3^3\) より \(2x-1=3\)、したがって \(x=2\) です。
Q29 指数方程式 ★★☆

指数方程式 \(4^x=8\) の解は？

  1. \(x=\dfrac12\)
  2. \(x=\dfrac32\)
  3. \(x=2\)
  4. \(x=3\)
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正解B. \(x=\dfrac32\)

ポイント：指数方程式

\(2^{2x}=2^3\) より \(2x=3\)、したがって \(x=3/2\) です。
Q30 指数法則（商） ★☆☆

\(a\ne0\) のとき、\(\dfrac{a^m}{a^n}\) は？

  1. \(a^{m+n}\)
  2. \(a^{m-n}\)
  3. \(a^{n-m}\)
  4. \(a^{mn}\)
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正解B. \(a^{m-n}\)

ポイント：指数法則（商）

同じ底の商では分子の指数から分母の指数を引きます。
Q31 指数法則（積） ★☆☆

指数法則で \(a^m a^n\) は？

  1. \(a^{m+n}\)
  2. \(a^{mn}\)
  3. \(a^{m-n}\)
  4. \(2a^{m+n}\)
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正解A. \(a^{m+n}\)

ポイント：指数法則（積）

同じ底の積では指数を加えて \(a^{m+n}\) です。
Q32 指数法則（累乗） ★☆☆

\((a^m)^n\) は？

  1. \(a^{m+n}\)
  2. \(a^{m-n}\)
  3. \(a^{mn}\)
  4. \(a^{m/n}\)
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正解C. \(a^{mn}\)

ポイント：指数法則（累乗）

累乗の累乗では指数を掛けて \(a^{mn}\) です。
Q33 指数関数のグラフ ★☆☆

指数関数 \(y=a^x\) が底aによらず必ず通る点は？

  1. \((0,0)\)
  2. \((0,1)\)
  3. \((1,0)\)
  4. \((1,1)\)
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正解B. \((0,1)\)

ポイント：指数関数のグラフ

\(a^0=1\) なので、必ず \((0,1)\) を通ります。
Q34 指数関数の値域 ★☆☆

指数関数 \(y=a^x\)（\(a>0,a\ne1\)）の値域は？

  1. \(y>0\)
  2. \(y\geq0\)
  3. \(y>1\)
  4. すべての実数
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正解A. \(y>0\)

ポイント：指数関数の値域

指数関数の値は常に正で、0にはなりません。
Q35 指数関数の増減 ★☆☆

\(a>1\) のとき、指数関数 \(y=a^x\) の増減は？

  1. 常に増加
  2. 常に減少
  3. x=0で最大
  4. 周期的に変化
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正解A. 常に増加

ポイント：指数関数の増減

底が1より大きい指数関数は、実数全体で単調に増加します。
底が1より大きい指数関数の右上がりのグラフ
底が1より大きい指数関数の右上がりのグラフ
Q36 指数関数の増減 ★☆☆

\(0<a<1\) のとき、指数関数 \(y=a^x\) の増減は？

  1. 常に増加
  2. 常に減少
  3. 一定
  4. x=1で最小
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正解B. 常に減少

ポイント：指数関数の増減

底が0と1の間なら、xが増えるほど値は小さくなります。
Q37 指数関数の平行移動 ★★☆

関数 \(y=2^{x-1}+3\) の水平な漸近線は？

  1. \(y=0\)
  2. \(y=1\)
  3. \(y=2\)
  4. \(y=3\)
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正解D. \(y=3\)

ポイント：指数関数の平行移動

\(y=2^x\) を上に3だけ平行移動しているので、漸近線は \(y=3\) です。
Q38 負の分数指数 ★★☆

\(16^{-3/4}\) の値は？

  1. \(\dfrac18\)
  2. \(\dfrac14\)
  3. 8
  4. 64
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正解A. \(\dfrac18\)

ポイント：負の分数指数

\(16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8\) の逆数です。
Q39 負の分数指数 ★★☆

\(27^{-2/3}\) の値は？

  1. \(\dfrac19\)
  2. \(\dfrac16\)
  3. 9
  4. \(\dfrac1{27}\)
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正解A. \(\dfrac19\)

ポイント：負の分数指数

\(27^{2/3}=3^2=9\) なので、負の指数により \(1/9\) です。
Q40 負の整数指数 ★☆☆

\(a\ne0\) のとき、\(a^{-n}\) は？

  1. \(-a^n\)
  2. \(\dfrac1{a^n}\)
  3. \(a^n\)
  4. \(\dfrac1{na}\)
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正解B. \(\dfrac1{a^n}\)

ポイント：負の整数指数

負の指数は逆数を表し、\(a^{-n}=1/a^n\) です。