微分法・積分法の問題一覧｜数学瞬発トレーニング

Q1 2曲線間の面積 ★☆☆

区間 \([a,b]\) で \(f(x)\geq g(x)\) のとき、2曲線で囲まれる面積は？

\(\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx\)
\(\int_a^b\{f(x)+g(x)\}\,dx\)
\(\int_a^b\{g(x)-f(x)\}\,dx\)
\(f(b)-g(a)\)

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正解A. \(\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx\)

ポイント：2曲線間の面積

上側の関数から下側の関数を引いて積分します。

Q2 2曲線間の面積 ★★☆

曲線 \(y=x\) と \(y=x^2\) で囲まれる面積は？

\(\dfrac16\)
\(\dfrac13\)
\(\dfrac12\)
1

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正解A. \(\dfrac16\)

ポイント：2曲線間の面積

交点は0と1。\(\int_0^1(x-x^2)dx=1/2-1/3=1/6\) です。

Q3 べき関数の不定積分 ★☆☆

正の整数nについて、\(\int x^n\,dx\) は？

\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
\(nx^{n-1}+C\)
\(\dfrac{x^n}{n}+C\)
\(x^{n+1}+C\)

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正解A. \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

ポイント：べき関数の不定積分

指数を1増やし、その新しい指数で割ります。

Q4 べき関数の微分 ★☆☆

正の整数nについて、\((x^n)'\) は？

\(nx^{n-1}\)
\(x^{n-1}\)
\(n x^n\)
\(x^{n+1}/(n+1)\)

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正解A. \(nx^{n-1}\)

ポイント：べき関数の微分

べき関数の微分公式は \((x^n)'=nx^{n-1}\) です。

Q5 三次関数のグラフ ★☆☆

最高次の係数が正の三次関数のグラフの両端の様子は？

左下から右上
左上から右下
両側とも上
両側とも下

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正解A. 左下から右上

ポイント：三次関数のグラフ

xが負に大きいと関数値は負、正に大きいと関数値は正になります。

Q6 三次関数の極値 ★★☆

関数 \(y=x^3-3x\) の極大値は？

\(-2\)
0
2
3

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正解C. 2

ポイント：三次関数の極値

x=−1で増加から減少に変わり、\(y(-1)=2\) です。

Q7 三次関数の極値 ★★☆

関数 \(y=x^3-3x\) の極小値は？

\(-2\)
0
2
3

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正解A. \(-2\)

ポイント：三次関数の極値

x=1で減少から増加に変わり、\(y(1)=-2\) です。

Q8 偶関数の定積分 ★☆☆

\(\int_{-1}^{1}x^2\,dx\) の値は？

\(\dfrac13\)
\(\dfrac23\)
1
2

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正解B. \(\dfrac23\)

ポイント：偶関数の定積分

x²は偶関数なので \(2\int_0^1x^2dx=2/3\) です。

Q9 原始関数 ★☆☆

\(F'(x)=f(x)\) を満たすF(x)をf(x)の何という？

導関数
原始関数
逆関数
合成関数

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正解B. 原始関数

ポイント：原始関数

微分するとf(x)になる関数F(x)を原始関数といいます。

Q10 和の微分 ★☆☆

2つの関数f(x)、g(x)について、\(\{f(x)+g(x)\}'\) は？

\(f'(x)+g'(x)\)
\(f'(x)g'(x)\)
\(f(x)+g'(x)\)
\(f'(x)-g'(x)\)

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正解A. \(f'(x)+g'(x)\)

ポイント：和の微分

和の導関数は、それぞれの導関数の和です。

Q11 増減区間 ★★☆

関数 \(y=x^3-3x\) が増加する区間は？

\(x<-1,\ 1<x\)
\(-1<x<1\)
\(x<1\)
\(x>-1\)

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正解A. \(x<-1,\ 1<x\)

ポイント：増減区間

\(y'=3(x-1)(x+1)>0\) となる \(x<-1, x>1\) で増加します。

Q12 増減区間 ★★☆

関数 \(y=x^3-3x^2\) が減少する区間は？

\(x<0\)
\(0<x<2\)
\(x>2\)
\(x<0,\ 2<x\)

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正解B. \(0<x<2\)

ポイント：増減区間

\(y'=3x(x-2)\) が負になるのは \(0<x<2\) です。

Q13 多項式の不定積分 ★☆☆

\(\int(3x^2-4x+1)\,dx\) は？

\(x^3-2x^2+x+C\)
\(6x-4+C\)
\(x^3-4x^2+x+C\)
\(x^3-2x+1+C\)

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正解A. \(x^3-2x^2+x+C\)

ポイント：多項式の不定積分

各項を積分して \(x^3-2x^2+x+C\) です。

Q14 多項式の微分 ★☆☆

\(f(x)=x^4-3x^2+2\) の導関数は？

\(4x^3-6x\)
\(4x^3-3x\)
\(x^3-6x\)
\(4x^3-6x+2\)

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正解A. \(4x^3-6x\)

ポイント：多項式の微分

各項を微分し、定数項2の微分は0です。

Q15 多項式の微分 ★☆☆

\(f(x)=2x^3-5x+1\) の導関数は？

\(6x^2-5\)
\(6x-5\)
\(2x^2-5\)
\(6x^2-5x\)

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正解A. \(6x^2-5\)

ポイント：多項式の微分

\((2x^3)'=6x^2\)、\((-5x)'=-5\) です。

Q16 奇関数の定積分 ★☆☆

\(\int_{-1}^{1}x^3\,dx\) の値は？

\(-1\)
0
\(\dfrac12\)
1

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正解B. 0

ポイント：奇関数の定積分

x³は奇関数なので、原点対称な区間での定積分は0です。

Q17 定数倍の微分 ★☆☆

定数cと関数f(x)について、\(\{cf(x)\}'\) は？

\(cf'(x)\)
\(c+f'(x)\)
\(f'(x)/c\)
\(c'f(x)\)

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正解A. \(cf'(x)\)

ポイント：定数倍の微分

定数倍はそのまま外に出して微分できます。

Q18 定数関数の微分 ★☆☆

定数Cを微分すると？

\(0\)
\(1\)
\(C\)
\(Cx\)

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正解A. \(0\)

ポイント：定数関数の微分

定数関数は変化しないので導関数は0です。

Q19 定積分 ★☆☆

\(\int_0^2 x\,dx\) の値は？

\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)

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正解B. \(2\)

ポイント：定積分

\([x^2/2]_0^2=2\) です。

Q20 定積分の区間加法性 ★☆☆

a<c<bのとき、\(\int_a^b f(x)\,dx\) は？

\(\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx\)
\(\int_a^c f(x)\,dx-\int_c^b f(x)\,dx\)
\(\int_c^b f(x)\,dx\)
0

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正解A. \(\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx\)

ポイント：定積分の区間加法性

区間をcで分けた定積分の和に等しくなります。

Q21 定積分の性質 ★☆☆

\(\int_b^a f(x)\,dx\) と等しいものは？

\(-\int_a^b f(x)\,dx\)
\(\int_a^b f(x)\,dx\)
0
\(2\int_a^b f(x)\,dx\)

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正解A. \(-\int_a^b f(x)\,dx\)

ポイント：定積分の性質

積分区間の上下端を入れ替えると符号が反転します。

Q22 定積分の計算 ★☆☆

F'(x)=f(x)のとき、\(\int_a^b f(x)\,dx\) は？

\(F(b)-F(a)\)
\(F(a)-F(b)\)
\(F(a)+F(b)\)
\(f(b)-f(a)\)

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正解A. \(F(b)-F(a)\)

ポイント：定積分の計算

微分積分学の基本定理により、原始関数の上端の値から下端の値を引きます。

Q23 導関数とグラフ ★☆☆

三次関数f(x)が極大値と極小値をもつとき、導関数 \(f'(x)=0\) の実数解の個数は？

0個
1個
2個
3個

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正解C. 2個

ポイント：導関数とグラフ

極大点と極小点で接線が水平になるため、異なる2実根をもちます。

Q24 導関数と増減 ★☆☆

区間内で常に \(f'(x)>0\) なら、f(x)はその区間で？

増加する
減少する
一定
必ず最大値0をとる

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正解A. 増加する

ポイント：導関数と増減

導関数が正の区間では、元の関数は増加します。

Q25 導関数と増減 ★☆☆

区間内で常に \(f'(x)<0\) なら、f(x)はその区間で？

増加する
減少する
一定
周期的に変化する

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正解B. 減少する

ポイント：導関数と増減

導関数が負の区間では、元の関数は減少します。

Q26 常に増加する条件 ★★☆

関数 \(f(x)=x^3+3kx\) が実数全体で増加するためのkの条件は？

\(k\geq0\)
\(k>1\)
\(k\leq0\)
\(k<0\)

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正解A. \(k\geq0\)

ポイント：常に増加する条件

\(f'(x)=3x^2+3k\) が常に0以上となる条件は \(k\geq0\) です。

Q27 平均変化率 ★☆☆

関数 \(y=f(x)\) のx=aからx=bまでの平均変化率は？

\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
\(\dfrac{f(a)-f(b)}{b-a}\)
\(\dfrac{f(b)+f(a)}{b+a}\)
\(f(b)-f(a)\)

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正解A. \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

ポイント：平均変化率

yの増加量をxの増加量で割ったものが平均変化率です。

Q28 微分による最小値 ★☆☆

関数 \(y=x^2-4x+1\) の最小値は？

\(-4\)
\(-3\)
0
1

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正解B. \(-3\)

ポイント：微分による最小値

\(y'=2x-4=0\) よりx=2。\(y(2)=-3\) です。

Q29 微分の応用 ★☆☆

正の数x、yが \(x+y=6\) を満たすとき、微分を用いて求めたxyの最大値は？

\(6\)
\(8\)
\(9\)
\(12\)

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正解C. \(9\)

ポイント：微分の応用

\(xy=x(6-x)=-x^2+6x\) はx=3で最大値9です。

Q30 微分係数 ★☆☆

\(f(x)=x^2\) のx=3における微分係数は？

\(3\)
\(6\)
\(9\)
\(12\)

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正解B. \(6\)

ポイント：微分係数

\(f'(x)=2x\) にx=3を代入して6です。

Q31 微分係数の図形的意味 ★☆☆

曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((a,f(a))\) における接線の傾きは？

\(f(a)\)
\(f'(a)\)
\(f'(x)\)
\(\dfrac{f(a)}a\)

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正解B. \(f'(a)\)

ポイント：微分係数の図形的意味

微分係数 \(f'(a)\) は、その点での接線の傾きを表します。

Q32 微分係数の定義 ★☆☆

関数fのx=aにおける微分係数 \(f'(a)\) の定義は？

\(\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\)
\(\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)+f(a)}h\)
\(\dfrac{f(a)}a\)
\(f(a+h)-f(a)\)

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正解A. \(\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\)

ポイント：微分係数の定義

平均変化率で幅hを0に近づけた極限が微分係数です。

Q33 接線と係数決定 ★★☆

曲線 \(y=x^2+ax\) のx=1における接線が直線 \(y=4x-2\) と平行なとき、aは？

\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)

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正解B. \(2\)

ポイント：接線と係数決定

導関数は \(2x+a\)。x=1で傾き4なので \(2+a=4\)、a=2です。

Q34 接線の傾き ★☆☆

曲線 \(y=x^3\) のx=2における接線の傾きは？

\(4\)
\(6\)
\(8\)
\(12\)

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正解D. \(12\)

ポイント：接線の傾き

\(y'=3x^2\) にx=2を代入して12です。

Q35 接線の方程式 ★☆☆

曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((a,f(a))\) における接線の方程式は？

\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)
\(y+f(a)=f'(a)(x+a)\)
\(y=f(a)x+f'(a)\)
\(y-a=f(a)(x-f'(a))\)

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正解A. \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)

ポイント：接線の方程式

接点と傾き \(f'(a)\) を点傾き形式に代入します。

Q36 接線の方程式 ★☆☆

放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((1,1)\) における接線は？

\(y=2x-1\)
\(y=x\)
\(y=2x+1\)
\(y=-2x+3\)

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正解A. \(y=2x-1\)

ポイント：接線の方程式

傾きは \(2x|_{x=1}=2\)。\(y-1=2(x-1)\) です。

Q37 放物線とx軸の面積 ★★☆

曲線 \(y=4-x^2\) とx軸で囲まれる面積は？

\(\dfrac{16}{3}\)
8
\(\dfrac{32}{3}\)
16

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正解C. \(\dfrac{32}{3}\)

ポイント：放物線とx軸の面積

交点はx=±2。\(\int_{-2}^{2}(4-x^2)dx=32/3\) です。

Q38 文字を含む極値 ★★☆

関数 \(f(x)=x^3-3x+k\) の極大値は？

\(k-2\)
\(k\)
\(k+2\)
2k

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正解C. \(k+2\)

ポイント：文字を含む極値

極大点はx=−1で、\(f(-1)=-1+3+k=k+2\) です。

Q39 曲線とx軸の面積 ★☆☆

区間 \([a,b]\) で \(f(x)\geq0\) のとき、曲線 \(y=f(x)\) とx軸で囲まれる面積は？

\(\int_a^b f(x)\,dx\)
\(-\int_a^b f(x)\,dx\)
\(f(b)-f(a)\)
\(\int_a^b x f(x)\,dx\)

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正解A. \(\int_a^b f(x)\,dx\)

ポイント：曲線とx軸の面積

グラフがx軸以上にある場合、定積分がそのまま面積になります。

Q40 極値の必要条件 ★☆☆

微分可能な関数f(x)がx=aで極値をとるための必要条件は？

\(f(a)=0\)
\(f'(a)=0\)
\(f''(a)=0\)
\(a=0\)

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正解B. \(f'(a)=0\)

ポイント：極値の必要条件

微分可能な極値点では接線が水平になり、\(f'(a)=0\) です。

Q41 極値をもつ条件 ★★☆

関数 \(y=x^3+ax\) が極大値と極小値をもつためのaの条件は？

\(a<0\)
\(a=0\)
\(a>0\)
すべての実数

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正解A. \(a<0\)

ポイント：極値をもつ条件

\(y'=3x^2+a=0\) が異なる2実根をもつ条件は \(a<0\) です。

Q42 水平な接線 ★★☆

曲線 \(y=x^3-3x\) 上のx=1における接線は？

\(y=-2\)
\(y=2\)
\(y=3x-5\)
\(y=-3x+1\)

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正解A. \(y=-2\)

ポイント：水平な接線

\(y'=3x^2-3\) はx=1で0、接点は \((1,-2)\) なので接線は \(y=-2\) です。

Q43 法線の傾き ★☆☆

接線の傾きがm（\(m\ne0\)）のとき、その接点における法線の傾きは？

\(m\)
\(-m\)
\(\dfrac1m\)
\(-\dfrac1m\)

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正解D. \(-\dfrac1m\)

ポイント：法線の傾き

接線と法線は垂直なので、傾きの積が−1になります。

Q44 積分定数 ★☆☆

不定積分の末尾に積分定数Cが必要な理由は？

微分すると定数が0になり、原始関数が定数分だけ複数あるため
積分すると必ず次数が下がるため
面積が常に正になるため
Cが関数の最大値を表すため

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正解A. 微分すると定数が0になり、原始関数が定数分だけ複数あるため

ポイント：積分定数

同じ導関数をもつ関数は定数分だけ異なるため、+Cを付けます。

Q45 閉区間の最大・最小 ★★☆

\(0\leq x\leq3\) における \(f(x)=x^3-3x\) の最大値は？

\(-2\)
0
2
18

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正解D. 18

ポイント：閉区間の最大・最小

端点と区間内の停留点を調べ、\(f(0)=0,f(1)=-2,f(3)=18\) です。