数学瞬発トレーニング 数学Ⅱ・式と証明

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式と証明の問題一覧

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この範囲から10問 公式・用語を確認
科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 式と証明 40 複素数と方程式 35 図形と方程式 35 三角関数 40 指数関数・対数関数 40 微分法・積分法 45
分野
すべて 40 3次の展開公式 3 3次の因数分解公式 4 対称式 1 高次式の因数分解 1 3次式の展開 1 二項定理 5 パスカルの三角形 1 整式の除法 3 剰余の定理 2 分数式の加法 1 分数式の減法 1 分数式の約分 1 恒等式 1 係数比較法 4 恒等式の利用 1 平方の非負性 1 等号成立条件 1 相加平均・相乗平均 4 平方の和 1 不等式の性質 2 不等式の証明 1
40問
Q1 3次の因数分解公式 ★☆☆

\(a^3+b^3\) を因数分解すると？

  1. \((a+b)(a^2-ab+b^2)\)
  2. \((a+b)(a^2+ab+b^2)\)
  3. \((a-b)(a^2+ab+b^2)\)
  4. \((a+b)^3\)
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正解A. \((a+b)(a^2-ab+b^2)\)

ポイント：3次の因数分解公式

3乗の和は \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) です。
Q2 3次の因数分解公式 ★☆☆

\(a^3-b^3\) を因数分解すると？

  1. \((a-b)(a^2+ab+b^2)\)
  2. \((a-b)(a^2-ab+b^2)\)
  3. \((a+b)(a^2-ab+b^2)\)
  4. \((a-b)^3\)
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正解A. \((a-b)(a^2+ab+b^2)\)

ポイント：3次の因数分解公式

3乗の差は \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) です。
Q3 3次の因数分解公式 ★☆☆

\(x^3+8\) を因数分解すると？

  1. \((x+2)(x^2-2x+4)\)
  2. \((x+2)(x^2+2x+4)\)
  3. \((x-2)(x^2+2x+4)\)
  4. \((x+2)^3\)
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正解A. \((x+2)(x^2-2x+4)\)

ポイント：3次の因数分解公式

\(8=2^3\) なので、3乗の和の公式を使います。
Q4 3次の因数分解公式 ★★☆

\(8x^3-27\) を因数分解すると？

  1. \((2x-3)(4x^2+6x+9)\)
  2. \((2x-3)(4x^2-6x+9)\)
  3. \((2x+3)(4x^2-6x+9)\)
  4. \((2x-3)^3\)
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正解A. \((2x-3)(4x^2+6x+9)\)

ポイント：3次の因数分解公式

\((2x)^3-3^3\) なので、\((2x-3)(4x^2+6x+9)\) です。
Q5 3次の展開公式 ★☆☆

\((a+b)^3\) を展開すると？

  1. \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
  2. \(a^3+a^2b+ab^2+b^3\)
  3. \(a^3+3ab+b^3\)
  4. \(a^3+b^3\)
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正解A. \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

ポイント：3次の展開公式

係数は1、3、3、1となり、\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) です。
Q6 3次の展開公式 ★☆☆

\((a-b)^3\) を展開すると？

  1. \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
  2. \(a^3-3a^2b-3ab^2-b^3\)
  3. \(a^3-a^2b+ab^2-b^3\)
  4. \(a^3-b^3\)
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正解A. \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

ポイント：3次の展開公式

符号が交互になり、\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) です。
Q7 3次の展開公式 ★☆☆

\((x+2)^3\) を展開すると？

  1. \(x^3+6x^2+12x+8\)
  2. \(x^3+3x^2+6x+8\)
  3. \(x^3+6x^2+8\)
  4. \(x^3+8\)
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正解A. \(x^3+6x^2+12x+8\)

ポイント：3次の展開公式

\(x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8\) です。
Q8 3次式の展開 ★★☆

\((a+b)^3+(a-b)^3\) を簡単にすると？

  1. \(2a^3+6ab^2\)
  2. \(2a^3+6a^2b\)
  3. \(2a^3+2b^3\)
  4. \(6a^2b+2b^3\)
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正解A. \(2a^3+6ab^2\)

ポイント：3次式の展開

2つを展開して加えると、\(a^2b\) と \(b^3\) の項が消え、\(2a^3+6ab^2\) です。
Q9 パスカルの三角形 ★☆☆

パスカルの三角形で \(n=5\) に対応する係数の並びは？

  1. 1, 4, 6, 4, 1
  2. 1, 5, 10, 10, 5, 1
  3. 1, 5, 5, 1
  4. 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
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正解B. 1, 5, 10, 10, 5, 1

ポイント：パスカルの三角形

\((a+b)^5\) の係数は1、5、10、10、5、1です。
0乗から5乗までの二項係数を並べたパスカルの三角形
0乗から5乗までの二項係数を並べたパスカルの三角形
Q10 不等式の性質 ★☆☆

\(a>b\) かつ \(c>0\) のとき、正しいものは？

  1. \(ac>bc\)
  2. \(ac<bc\)
  3. \(ac=bc\)
  4. cの値によって不明
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正解A. \(ac>bc\)

ポイント：不等式の性質

不等式の両辺に正の数を掛けても、不等号の向きは変わりません。
Q11 不等式の性質 ★☆☆

\(a>b\) かつ \(c<0\) のとき、正しいものは？

  1. \(ac>bc\)
  2. \(ac<bc\)
  3. \(ac=bc\)
  4. 必ず0になる
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正解B. \(ac<bc\)

ポイント：不等式の性質

不等式の両辺に負の数を掛けると、不等号の向きが逆になります。
Q12 不等式の証明 ★☆☆

正の数a、bについて \((a+b)^2\geq4ab\) の等号成立条件は？

  1. \(a=b\)
  2. \(a=-b\)
  3. \(a=0\)
  4. \(ab=0\)
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正解A. \(a=b\)

ポイント：不等式の証明

\((a+b)^2-4ab=(a-b)^2\geq0\) なので、等号は \(a=b\) のときです。
Q13 二項定理 ★☆☆

\((a+b)^n\) の展開における一般項は？

  1. \({}_nC_r a^{n-r}b^r\)
  2. \({}_nP_r a^{n-r}b^r\)
  3. \(n a^{n-r}b^r\)
  4. \(a^n+b^n\)
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正解A. \({}_nC_r a^{n-r}b^r\)

ポイント：二項定理

二項定理では、\(r=0,1,\ldots,n\) に対して \({}_nC_r a^{n-r}b^r\) が現れます。
Q14 二項定理 ★☆☆

\((x+1)^5\) の \(x^2\) の係数は？

  1. \(5\)
  2. \(10\)
  3. \(20\)
  4. \(25\)
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正解B. \(10\)

ポイント：二項定理

\(x^2\) の項は \({}_5C_2x^2\) なので、係数は10です。
Q15 二項定理 ★★☆

\((a+b)^n\) の展開係数の総和は？

  1. \(n\)
  2. \(n^2\)
  3. \(2^n\)
  4. \(n!\)
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正解C. \(2^n\)

ポイント：二項定理

\(a=b=1\) を代入すると、係数の総和は \((1+1)^n=2^n\) です。
Q16 二項定理 ★★☆

\((2x-1)^4\) の \(x^3\) の係数は？

  1. \(-32\)
  2. \(-16\)
  3. \(16\)
  4. \(32\)
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正解A. \(-32\)

ポイント：二項定理

\({}_4C_3(2x)^3(-1)=4\cdot8x^3\cdot(-1)=-32x^3\) です。
Q17 二項定理 ★★★

\((x+\dfrac1x)^4\) の定数項は？

  1. \(4\)
  2. \(6\)
  3. \(8\)
  4. \(12\)
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正解B. \(6\)

ポイント：二項定理

一般項のxの指数が0になるのは2個ずつ選ぶ場合で、係数は \({}_4C_2=6\) です。
Q18 係数比較法 ★☆☆

\(ax+b=3x+5\) がxについての恒等式であるとき、\(a,b\) は？

  1. \(a=3,b=5\)
  2. \(a=5,b=3\)
  3. \(a=3,b=-5\)
  4. \(a=-3,b=5\)
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正解A. \(a=3,b=5\)

ポイント：係数比較法

両辺の同じ次数の係数を比較し、\(a=3,b=5\) です。
Q19 係数比較法 ★☆☆

\((x+a)^2=x^2+6x+b\) が恒等式であるとき、\(a,b\) は？

  1. \(a=3,b=9\)
  2. \(a=6,b=9\)
  3. \(a=3,b=6\)
  4. \(a=-3,b=9\)
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正解A. \(a=3,b=9\)

ポイント：係数比較法

左辺は \(x^2+2ax+a^2\)。\(2a=6\) より \(a=3\)、\(b=a^2=9\) です。
Q20 係数比較法 ★☆☆

\(x^2+kx+6=(x+2)(x+3)\) が恒等式であるとき、\(k\) は？

  1. \(2\)
  2. \(3\)
  3. \(5\)
  4. \(6\)
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正解C. \(5\)

ポイント：係数比較法

右辺を展開すると \(x^2+5x+6\) なので、\(k=5\) です。
Q21 係数比較法 ★★☆

\(x^3+ax^2+bx+6=(x+1)(x+2)(x+3)\) が恒等式であるとき、\(a,b\) は？

  1. \(a=5,b=6\)
  2. \(a=6,b=11\)
  3. \(a=11,b=6\)
  4. \(a=6,b=6\)
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正解B. \(a=6,b=11\)

ポイント：係数比較法

右辺を展開すると \(x^3+6x^2+11x+6\) なので、\(a=6,b=11\) です。
Q22 分数式の加法 ★☆☆

\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{b}\) を通分すると？

  1. \(\dfrac{x(a+b)}{ab}\)
  2. \(\dfrac{2x}{a+b}\)
  3. \(\dfrac{x}{ab}\)
  4. \(\dfrac{x(a-b)}{ab}\)
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正解A. \(\dfrac{x(a+b)}{ab}\)

ポイント：分数式の加法

共通分母を \(ab\) とすると、\((bx+ax)/ab=x(a+b)/ab\) です。
Q23 分数式の減法 ★☆☆

\(\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}\) を簡単にすると？

  1. \(\dfrac2{x^2-1}\)
  2. \(-\dfrac2{x^2-1}\)
  3. \(\dfrac{2x}{x^2-1}\)
  4. \(\dfrac1{x^2-1}\)
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正解A. \(\dfrac2{x^2-1}\)

ポイント：分数式の減法

分子は \((x+1)-(x-1)=2\)、分母は \((x-1)(x+1)=x^2-1\) です。
Q24 分数式の約分 ★☆☆

\(x\neq1\) のとき、\(\dfrac{x^2-1}{x-1}\) は？

  1. \(x-1\)
  2. \(x+1\)
  3. \(x^2+1\)
  4. \(1\)
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正解B. \(x+1\)

ポイント：分数式の約分

分子を \((x-1)(x+1)\) と因数分解して約分すると \(x+1\) です。
Q25 剰余の定理 ★☆☆

整式 \(f(x)\) を \(x-2\) で割った余りは？

  1. \(f(0)\)
  2. \(f(2)\)
  3. \(f(-2)\)
  4. \(2f(x)\)
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正解B. \(f(2)\)

ポイント：剰余の定理

剰余の定理より、\(x-a\) で割った余りは \(f(a)\) です。
Q26 剰余の定理 ★☆☆

整式 \(f(x)\) を \(x+1\) で割った余りは？

  1. \(f(1)\)
  2. \(f(-1)\)
  3. \(-f(1)\)
  4. \(f(0)\)
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正解B. \(f(-1)\)

ポイント：剰余の定理

\(x+1=x-(-1)\) なので、余りは \(f(-1)\) です。
Q27 対称式 ★★☆

\(a+b=3,\ ab=2\) のとき、\(a^3+b^3\) は？

  1. \(7\)
  2. \(9\)
  3. \(15\)
  4. \(27\)
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正解B. \(9\)

ポイント：対称式

\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=27-18=9\) です。
Q28 平方の和 ★★☆

実数a、b、cについて常に成り立つ不等式は？

  1. \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\)
  2. \(a^2+b^2+c^2\leq ab+bc+ca\)
  3. \(a+b+c\geq abc\)
  4. \(a^2+b^2+c^2<0\)
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正解A. \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\)

ポイント：平方の和

左辺との差は \(\frac12\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}\geq0\) です。
Q29 平方の非負性 ★☆☆

実数a、bについて \(a^2+b^2\geq2ab\) を示すのに使う式は？

  1. \((a-b)^2\geq0\)
  2. \((a+b)^2\leq0\)
  3. \(ab\geq0\)
  4. \(a+b\geq0\)
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正解A. \((a-b)^2\geq0\)

ポイント：平方の非負性

\(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq0\) より示せます。
Q30 恒等式 ★☆☆

文字にどのような値を代入しても成り立つ等式を何という？

  1. 方程式
  2. 不等式
  3. 恒等式
  4. 連立式
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正解C. 恒等式

ポイント：恒等式

すべての許される値で成り立つ等式を恒等式といいます。
Q31 恒等式の利用 ★☆☆

\((a+b)^2-(a-b)^2\) を簡単にすると？

  1. \(2ab\)
  2. \(4ab\)
  3. \(2a^2+2b^2\)
  4. \(4a^2b^2\)
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正解B. \(4ab\)

ポイント：恒等式の利用

展開して引くと、\(a^2\) と \(b^2\) が消えて \(4ab\) です。
Q32 整式の除法 ★☆☆

\(x^3-1\) を \(x-1\) で割った商は？

  1. \(x^2+x+1\)
  2. \(x^2-x+1\)
  3. \(x^2+1\)
  4. \(x^2+x-1\)
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正解A. \(x^2+x+1\)

ポイント：整式の除法

\(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\) なので、商は \(x^2+x+1\) です。
Q33 整式の除法 ★☆☆

整式Aを整式Bで割った商をQ、余りをRとするとき、成り立つ式は？

  1. \(A=BQ+R\)
  2. \(A=B+QR\)
  3. \(A=BR+Q\)
  4. \(A/B=R\)
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正解A. \(A=BQ+R\)

ポイント：整式の除法

整数の除法と同様に、割られる式＝割る式×商＋余りです。
Q34 整式の除法 ★★☆

\(x^3+2x^2-5x-6\) を \(x-2\) で割った商は？

  1. \(x^2+4x+3\)
  2. \(x^2-4x+3\)
  3. \(x^2+2x-3\)
  4. \(x^2+4x-3\)
答え・解説を見る

正解A. \(x^2+4x+3\)

ポイント：整式の除法

組立除法を行うと係数は1、4、3、余り0となります。
x-2で割る組立除法の計算表
x-2で割る組立除法の計算表
Q35 相加平均・相乗平均 ★☆☆

正の数a、bについて、相加平均と相乗平均の関係は？

  1. \(\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)
  2. \(\dfrac{a+b}{2}\leq\sqrt{ab}\)
  3. \(a+b\leq ab\)
  4. \(a+b=\sqrt{ab}\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)

ポイント：相加平均・相乗平均

正の数では相加平均は相乗平均以上で、等号は \(a=b\) のときです。
相加平均が相乗平均以上である関係と等号条件
相加平均が相乗平均以上である関係と等号条件
Q36 相加平均・相乗平均 ★☆☆

\(x>0\) のとき、\(x+\dfrac1x\) の最小値は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(2\)
  4. \(4\)
答え・解説を見る

正解C. \(2\)

ポイント：相加平均・相乗平均

相加平均・相乗平均より \(x+1/x\geq2\sqrt{x\cdot1/x}=2\)。等号は \(x=1\) です。
Q37 相加平均・相乗平均 ★★☆

正の数x、yが \(x+y=10\) を満たすとき、\(xy\) の最大値は？

  1. \(10\)
  2. \(20\)
  3. \(25\)
  4. \(100\)
答え・解説を見る

正解C. \(25\)

ポイント：相加平均・相乗平均

相加平均・相乗平均より \(\sqrt{xy}\leq5\) なので \(xy\leq25\)。等号は \(x=y=5\) です。
Q38 相加平均・相乗平均 ★★☆

\(x>0\) のとき、\(x+\dfrac4x\) の最小値は？

  1. \(2\)
  2. \(4\)
  3. \(5\)
  4. \(8\)
答え・解説を見る

正解B. \(4\)

ポイント：相加平均・相乗平均

相加平均・相乗平均より \(x+4/x\geq2\sqrt4=4\)。等号は \(x=2\) です。
Q39 等号成立条件 ★☆☆

\(a^2+b^2\geq2ab\) で等号が成り立つ条件は？

  1. \(a=b\)
  2. \(a=-b\)
  3. \(a=0\) のみ
  4. \(b=0\) のみ
答え・解説を見る

正解A. \(a=b\)

ポイント：等号成立条件

差は \((a-b)^2\) なので、等号は \(a-b=0\)、つまり \(a=b\) のときです。
Q40 高次式の因数分解 ★☆☆

\(x^3-4x\) を因数分解すると？

  1. \(x(x-2)(x+2)\)
  2. \(x(x-4)(x+1)\)
  3. \((x-2)^3\)
  4. \(x(x^2+4)\)
答え・解説を見る

正解A. \(x(x-2)(x+2)\)

ポイント：高次式の因数分解

まずxをくくり、\(x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\) です。