数学瞬発トレーニング 数学Ⅱ・図形と方程式

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図形と方程式の問題一覧

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科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 式と証明 40 複素数と方程式 35 図形と方程式 35 三角関数 40 指数関数・対数関数 40 微分法・積分法 45
分野
すべて 35 2点間の距離 2 中点の座標 2 内分点 1 三角形の重心 1 直線の傾き 2 点傾き形式 1 直線の方程式 1 2点を通る直線 1 平行条件 1 垂直条件 1 平行な直線 1 垂直な直線 1 点と直線の距離 1 円の標準形 2 円の平方完成 2 直径から円を求める 1 円上の点 1 円と直線の位置関係 1 円と直線の交点 1 円の接線 2 垂直二等分線の軌跡 2 円の軌跡 1 アポロニウスの円 1 直線で分けられる領域 1 円で分けられる領域 2 領域の判定 1 連立不等式の領域 1
35問
Q1 2点を通る直線 ★☆☆

2点 \((1,2),(3,6)\) を通る直線は？

  1. \(y=2x\)
  2. \(y=2x+1\)
  3. \(y=3x-1\)
  4. \(y=x+1\)
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正解A. \(y=2x\)

ポイント：2点を通る直線

傾きは2。\(y-2=2(x-1)\) より \(y=2x\) です。
Q2 2点間の距離 ★☆☆

2点 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) 間の距離 \(AB\) は？

  1. \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
  2. \((x_2-x_1)+(y_2-y_1)\)
  3. \(\sqrt{(x_2+x_1)^2+(y_2+y_1)^2}\)
  4. \(|x_2-x_1|\)
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正解A. \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

ポイント：2点間の距離

横方向と縦方向の差に三平方の定理を使います。
Q3 2点間の距離 ★☆☆

2点 \(A(1,2),B(4,6)\) 間の距離は？

  1. \(3\)
  2. \(4\)
  3. \(5\)
  4. \(7\)
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正解C. \(5\)

ポイント：2点間の距離

\(AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5\) です。
Q4 アポロニウスの円 ★★☆

点Pが \(PA:PB=2:1\) を満たすとき、その軌跡は一般に何になる？（A、Bは異なる定点）

  1. 直線
  2. 円
  3. 放物線
  4. 双曲線
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正解B. 円

ポイント：アポロニウスの円

2定点からの距離の比が1でない一定値となる点の軌跡は、アポロニウスの円です。
Q5 三角形の重心 ★☆☆

三角形の頂点が \((0,0),(6,0),(0,3)\) のとき、重心は？

  1. \((2,1)\)
  2. \((3,1)\)
  3. \((2,3)\)
  4. \((1,2)\)
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正解A. \((2,1)\)

ポイント：三角形の重心

重心は3頂点の各座標の平均なので、\(((0+6+0)/3,(0+0+3)/3)=(2,1)\) です。
Q6 中点の座標 ★☆☆

線分ABの中点の座標は？

  1. \(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
  2. \((x_2-x_1,y_2-y_1)\)
  3. \((x_1x_2,y_1y_2)\)
  4. \(\left(\dfrac{x_2-x_1}{2},\dfrac{y_2-y_1}{2}\right)\)
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正解A. \(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)

ポイント：中点の座標

中点ではx座標、y座標をそれぞれ平均します。
Q7 中点の座標 ★☆☆

2点 \(A(-2,3),B(4,-1)\) の中点は？

  1. \((1,1)\)
  2. \((2,2)\)
  3. \((-3,5)\)
  4. \((1,-1)\)
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正解A. \((1,1)\)

ポイント：中点の座標

\(\bigl((-2+4)/2,(3-1)/2\bigr)=(1,1)\) です。
Q8 内分点 ★★☆

点Pが線分ABを \(AP:PB=1:2\) に内分する。\(A(1,2),B(7,8)\) のときPは？

  1. \((3,4)\)
  2. \((5,6)\)
  3. \((4,5)\)
  4. \((2,3)\)
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正解A. \((3,4)\)

ポイント：内分点

内分点はAにB側の比2、BにA側の比1を掛け、\(P=((2\cdot1+1\cdot7)/3,(2\cdot2+1\cdot8)/3)=(3,4)\) です。
線分ABを1対2に内分する点Pの位置
線分ABを1対2に内分する点Pの位置
Q9 円で分けられる領域 ★☆☆

不等式 \(x^2+y^2\leq4\) が表す領域は？

  1. 原点中心・半径2の円の内部と周
  2. 原点中心・半径4の円の内部
  3. 半径2の円の外部
  4. 円周のみ
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正解A. 原点中心・半径2の円の内部と周

ポイント：円で分けられる領域

原点からの距離が2以下の点全体なので、円の内部と円周です。
Q10 円で分けられる領域 ★☆☆

不等式 \((x-1)^2+(y+2)^2>9\) が表す領域は？

  1. 中心 \((1,-2)\)、半径3の円の外部（円周を除く）
  2. 同じ円の内部（円周を除く）
  3. 中心 \((-1,2)\)、半径3の円の外部
  4. 中心 \((1,-2)\)、半径9の円周
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正解A. 中心 \((1,-2)\)、半径3の円の外部（円周を除く）

ポイント：円で分けられる領域

中心からの距離の2乗が9より大きいので、半径3の円の外側です。
Q11 円と直線の交点 ★★☆

円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=1\) の交点は？

  1. \((2,1),(-2,1)\)
  2. \((1,2),(1,-2)\)
  3. \((\sqrt5,1),(-\sqrt5,1)\)
  4. \((2,0),(-2,0)\)
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正解A. \((2,1),(-2,1)\)

ポイント：円と直線の交点

\(y=1\) を代入すると \(x^2+1=5\)、よって \(x=\pm2\) です。
Q12 円と直線の位置関係 ★☆☆

円の中心と直線の距離をd、円の半径をrとする。直線が円と2点で交わる条件は？

  1. \(d<r\)
  2. \(d=r\)
  3. \(d>r\)
  4. \(d=0\) のみ
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正解A. \(d<r\)

ポイント：円と直線の位置関係

中心から直線までの距離が半径より小さいと、直線は円の内部を横切ります。
Q13 円の平方完成 ★★☆

円 \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) の中心と半径は？

  1. 中心 \((2,-3)\)、半径5
  2. 中心 \((-2,3)\)、半径5
  3. 中心 \((2,-3)\)、半径25
  4. 中心 \((4,-6)\)、半径12
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正解A. 中心 \((2,-3)\)、半径5

ポイント：円の平方完成

平方完成すると \((x-2)^2+(y+3)^2=25\) です。
Q14 円の平方完成 ★★☆

円 \(x^2+y^2-4x-2y=0\) の半径は？

  1. \(\sqrt5\)
  2. \(5\)
  3. \(\sqrt3\)
  4. \(3\)
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正解A. \(\sqrt5\)

ポイント：円の平方完成

平方完成すると \((x-2)^2+(y-1)^2=5\) なので、半径は \(\sqrt5\) です。
Q15 円の接線 ★☆☆

円 \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \((x_1,y_1)\) における接線の方程式は？

  1. \(xx_1+yy_1=r^2\)
  2. \((x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2\)
  3. \(xx_1-yy_1=r\)
  4. \(x+x_1+y+y_1=r^2\)
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正解A. \(xx_1+yy_1=r^2\)

ポイント：円の接線

原点と接点を結ぶ半径に垂直な直線を表す公式です。
Q16 円の接線 ★★☆

円 \(x^2+y^2=25\) 上の点 \((3,4)\) における接線は？

  1. \(3x+4y=25\)
  2. \(4x+3y=25\)
  3. \(3x-4y=25\)
  4. \(x+y=7\)
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正解A. \(3x+4y=25\)

ポイント：円の接線

円 \(x^2+y^2=r^2\) の点 \((x_1,y_1)\) での接線は \(xx_1+yy_1=r^2\) です。
円上の点3,4における接線と半径の垂直関係
円上の点3,4における接線と半径の垂直関係
Q17 円の標準形 ★☆☆

中心 \((a,b)\)、半径rの円の方程式は？

  1. \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
  2. \((x+a)^2+(y+b)^2=r\)
  3. \((x-a)+(y-b)=r^2\)
  4. \(x^2+y^2=a^2+b^2\)
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正解A. \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

ポイント：円の標準形

中心から円上の点までの距離がrであることを式にしたものです。
Q18 円の標準形 ★☆☆

中心 \((1,-2)\)、半径3の円の方程式は？

  1. \((x-1)^2+(y+2)^2=9\)
  2. \((x+1)^2+(y-2)^2=9\)
  3. \((x-1)^2+(y+2)^2=3\)
  4. \(x^2+y^2=9\)
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正解A. \((x-1)^2+(y+2)^2=9\)

ポイント：円の標準形

標準形に \(a=1,b=-2,r=3\) を代入します。
Q19 円の軌跡 ★☆☆

原点からの距離が3である点Pの軌跡は？

  1. \(x^2+y^2=9\)
  2. \(x+y=3\)
  3. \(x^2+y^2=3\)
  4. \(y=3x\)
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正解A. \(x^2+y^2=9\)

ポイント：円の軌跡

原点を中心とする半径3の円なので \(x^2+y^2=9\) です。
Q20 円上の点 ★☆☆

円 \(x^2+y^2=25\) 上にある点は？

  1. \((3,4)\)
  2. \((2,4)\)
  3. \((0,4)\)
  4. \((5,5)\)
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正解A. \((3,4)\)

ポイント：円上の点

\((3,4)\) では \(3^2+4^2=25\) となります。
Q21 垂直な直線 ★★☆

直線 \(y=\dfrac12x+1\) に垂直で、点 \((2,3)\) を通る直線は？

  1. \(y=-2x+7\)
  2. \(y=2x-1\)
  3. \(y=-\dfrac12x+4\)
  4. \(y=\dfrac12x+2\)
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正解A. \(y=-2x+7\)

ポイント：垂直な直線

垂直な直線の傾きは−2。\(y-3=-2(x-2)\) より \(y=-2x+7\) です。
Q22 垂直二等分線の軌跡 ★☆☆

2点 \(A(-2,0),B(2,0)\) から等距離にある点Pの軌跡は？

  1. x軸
  2. y軸
  3. 原点中心・半径2の円
  4. 直線 \(y=2\)
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正解B. y軸

ポイント：垂直二等分線の軌跡

線分ABの垂直二等分線なので、軌跡はy軸 \(x=0\) です。
Q23 垂直二等分線の軌跡 ★☆☆

点Pが \(A(0,0),B(4,0)\) を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くとき、Pのx座標は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(2\)
  4. \(4\)
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正解C. \(2\)

ポイント：垂直二等分線の軌跡

ABの中点は \((2,0)\) で、垂直二等分線は \(x=2\) です。
Q24 垂直条件 ★☆☆

傾きがそれぞれ \(m_1,m_2\) の2直線が垂直である条件は？

  1. \(m_1=m_2\)
  2. \(m_1m_2=-1\)
  3. \(m_1+m_2=1\)
  4. \(m_1m_2=0\)
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正解B. \(m_1m_2=-1\)

ポイント：垂直条件

どちらの直線もy軸に平行でないとき、垂直条件は \(m_1m_2=-1\) です。
Q25 平行な直線 ★★☆

直線 \(2x-y+3=0\) に平行で、点 \((1,-2)\) を通る直線は？

  1. \(2x-y-4=0\)
  2. \(2x+y=0\)
  3. \(x-2y-5=0\)
  4. \(2x-y+4=0\)
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正解A. \(2x-y-4=0\)

ポイント：平行な直線

元の傾きは2。\(y+2=2(x-1)\) より \(2x-y-4=0\) です。
Q26 平行条件 ★☆☆

傾きがそれぞれ \(m_1,m_2\) の異なる2直線が平行である条件は？

  1. \(m_1=m_2\)
  2. \(m_1m_2=-1\)
  3. \(m_1+m_2=0\)
  4. \(m_1m_2=1\)
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正解A. \(m_1=m_2\)

ポイント：平行条件

平行な直線は傾きが等しくなります。
Q27 点と直線の距離 ★★☆

点 \((0,0)\) と直線 \(3x+4y-10=0\) の距離は？

  1. \(1\)
  2. \(2\)
  3. \(5\)
  4. \(10\)
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正解B. \(2\)

ポイント：点と直線の距離

点と直線の距離は \(|3\cdot0+4\cdot0-10|/\sqrt{3^2+4^2}=10/5=2\) です。
Q28 点傾き形式 ★☆☆

傾きmで点 \((x_1,y_1)\) を通る直線の方程式は？

  1. \(y-y_1=m(x-x_1)\)
  2. \(y+y_1=m(x+x_1)\)
  3. \(x-x_1=m(y-y_1)\)
  4. \(y=mx_1+y_1\)
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正解A. \(y-y_1=m(x-x_1)\)

ポイント：点傾き形式

点傾き形式は \(y-y_1=m(x-x_1)\) です。
Q29 直径から円を求める ★★☆

点 \((-1,0),(3,0)\) を直径の両端とする円の方程式は？

  1. \((x-1)^2+y^2=4\)
  2. \((x+1)^2+y^2=4\)
  3. \((x-1)^2+y^2=2\)
  4. \(x^2+y^2=9\)
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正解A. \((x-1)^2+y^2=4\)

ポイント：直径から円を求める

中心は直径の中点 \((1,0)\)、半径は2です。
Q30 直線で分けられる領域 ★☆☆

不等式 \(y>2x-1\) が表す領域は？

  1. 直線の上側（境界を含まない）
  2. 直線の下側（境界を含まない）
  3. 直線の上側（境界を含む）
  4. 直線上のみ
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正解A. 直線の上側（境界を含まない）

ポイント：直線で分けられる領域

同じxに対してyが直線上の値より大きい側です。記号が > なので境界線は含みません。
直線y=2x-1の上側にある不等式の領域
直線y=2x-1の上側にある不等式の領域
Q31 直線の傾き ★☆☆

2点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) を通る直線の傾きは？（\(x_1\ne x_2\)）

  1. \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
  2. \(\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\)
  3. \(\dfrac{y_2+y_1}{x_2+x_1}\)
  4. \((x_2-x_1)(y_2-y_1)\)
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正解A. \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

ポイント：直線の傾き

yの増加量をxの増加量で割ったものが傾きです。
Q32 直線の傾き ★☆☆

2点 \((-1,2),(3,10)\) を通る直線の傾きは？

  1. \(1\)
  2. \(2\)
  3. \(3\)
  4. \(4\)
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正解B. \(2\)

ポイント：直線の傾き

傾きは \((10-2)/(3-(-1))=8/4=2\) です。
Q33 直線の方程式 ★☆☆

傾き3で点 \((2,-1)\) を通る直線は？

  1. \(y=3x-7\)
  2. \(y=3x+5\)
  3. \(y=-3x+5\)
  4. \(y=2x-1\)
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正解A. \(y=3x-7\)

ポイント：直線の方程式

\(y+1=3(x-2)\) より、\(y=3x-7\) です。
Q34 連立不等式の領域 ★☆☆

連立不等式 \(x\geq0,\ y\geq0\) が表す領域は？

  1. 第1象限と正の座標軸
  2. 第2象限のみ
  3. 第3象限と負の座標軸
  4. x軸上のみ
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正解A. 第1象限と正の座標軸

ポイント：連立不等式の領域

x座標、y座標がともに0以上の点全体なので、第1象限とその境界です。
Q35 領域の判定 ★☆☆

不等式 \(x+y\leq3\) が表す領域は、原点を含む？

  1. 含む
  2. 含まない
  3. 境界上にある
  4. 判定できない
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正解A. 含む

ポイント：領域の判定

\((0,0)\) を代入すると \(0\leq3\) が成り立つため、原点を含みます。