数学瞬発トレーニング 数学Ⅱ・三角関数

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三角関数の問題一覧

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この範囲から10問 公式・用語を確認
科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 式と証明 40 複素数と方程式 35 図形と方程式 35 三角関数 40 指数関数・対数関数 40 微分法・積分法 45
分野
すべて 40 度数法と弧度法 1 度数法から弧度法 1 弧度法から度数法 1 一般角の弧度法 1 弧の長さ 1 扇形の面積 2 単位円による定義 1 三角関数の基本関係 3 象限と符号 1 三角関数の偶奇 1 三角関数の周期性 1 正弦関数の値域 1 正弦関数の周期 1 余弦関数の値 1 グラフの平行移動 1 正弦関数の振幅 1 三角関数の周期 1 正接関数の定義域 1 正弦の加法定理 1 余弦の加法定理 1 正接の加法定理 1 加法定理の利用 2 正弦の2倍角 1 余弦の2倍角 1 正接の2倍角 1 半角の公式 1 和を積に直す公式 1 積を和に直す公式 1 三角関数の合成 2 三角方程式 3 三角不等式 1 2倍角の方程式 1 正接の定義 1
40問
Q1 2倍角の方程式 ★★☆

\(0\leq x<\pi\) で \(\cos2x=0\) を満たすxは？

  1. \(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\)
  2. \(0,\dfrac{\pi}{2}\)
  3. \(\dfrac{\pi}{2}\) のみ
  4. \(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\)
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正解A. \(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\)

ポイント：2倍角の方程式

\(0\leq2x<2\pi\) で \(\cos2x=0\) より、\(2x=\pi/2,3\pi/2\) です。
Q2 グラフの平行移動 ★★☆

\(\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\) と等しいものは？

  1. \(\cos x\)
  2. \(-\cos x\)
  3. \(\sin x\)
  4. \(-\sin x\)
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正解B. \(-\cos x\)

ポイント：グラフの平行移動

加法定理より \(\sin(x-\pi/2)=-\cos x\) です。
Q3 一般角の弧度法 ★☆☆

\(450^\circ\) を弧度法で表すと？

  1. \(\dfrac{3\pi}{2}\)
  2. \(2\pi\)
  3. \(\dfrac{5\pi}{2}\)
  4. \(5\pi\)
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正解C. \(\dfrac{5\pi}{2}\)

ポイント：一般角の弧度法

\(450^\circ\times\pi/180^\circ=5\pi/2\) です。
Q4 三角不等式 ★★☆

\(0\leq x<2\pi\) で \(\sin x>\dfrac12\) を満たす範囲は？

  1. \(\dfrac{\pi}{6}<x<\dfrac{5\pi}{6}\)
  2. \(0<x<\dfrac{\pi}{6}\)
  3. \(\dfrac{5\pi}{6}<x<2\pi\)
  4. \(\dfrac{\pi}{6}\leq x\leq\dfrac{5\pi}{6}\)
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正解A. \(\dfrac{\pi}{6}<x<\dfrac{5\pi}{6}\)

ポイント：三角不等式

単位円またはsinのグラフで、値が1/2より大きい部分を読み取ります。
Q5 三角方程式 ★☆☆

\(0\leq x<2\pi\) で \(\sin x=\dfrac12\) を満たすxは？

  1. \(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\)
  2. \(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\)
  3. \(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6}\)
  4. \(\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\)
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正解A. \(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\)

ポイント：三角方程式

単位円でsinが1/2となる第1・第2象限の角です。
Q6 三角方程式 ★☆☆

\(0\leq x<2\pi\) で \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) を満たすxは？

  1. \(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}\)
  2. \(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\)
  3. \(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\)
  4. \(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}\)
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正解B. \(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\)

ポイント：三角方程式

cosが負になる第2・第3象限で、基準角が \(\pi/4\) の角です。
Q7 三角方程式 ★☆☆

\(0\leq x<2\pi\) で \(\tan x=1\) を満たすxは？

  1. \(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\)
  2. \(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\)
  3. \(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}\)
  4. \(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\)
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正解A. \(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\)

ポイント：三角方程式

tanの周期は \(\pi\) なので、\(x=\pi/4,5\pi/4\) です。
Q8 三角関数の偶奇 ★☆☆

\(\sin(-\theta)\) と等しいものは？

  1. \(\sin\theta\)
  2. \(-\sin\theta\)
  3. \(\cos\theta\)
  4. \(-\cos\theta\)
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正解B. \(-\sin\theta\)

ポイント：三角関数の偶奇

sinは奇関数なので \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\) です。
Q9 三角関数の合成 ★☆☆

\(a\sin x+b\cos x\) を1つの三角関数に合成したときの振幅は？

  1. \(|a+b|\)
  2. \(a^2+b^2\)
  3. \(\sqrt{a^2+b^2}\)
  4. \(\sqrt{|a-b|}\)
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正解C. \(\sqrt{a^2+b^2}\)

ポイント：三角関数の合成

\(R\sin(x+\alpha)\) とおくと、係数比較から \(R=\sqrt{a^2+b^2}\) です。
係数aとbから振幅√a²+b²を得る直角三角形
係数aとbから振幅√a²+b²を得る直角三角形
Q10 三角関数の合成 ★★☆

\(\sin x+\cos x\) を合成すると？

  1. \(\sqrt2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
  2. \(2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
  3. \(\sqrt2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
  4. \(\sin2x\)
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正解A. \(\sqrt2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

ポイント：三角関数の合成

\(\sqrt2\sin(x+\pi/4)=\sin x+\cos x\) です。
Q11 三角関数の周期 ★★☆

関数 \(y=\sin2x\) の基本周期は？

  1. \(\dfrac{\pi}{2}\)
  2. \(\pi\)
  3. \(2\pi\)
  4. \(4\pi\)
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正解B. \(\pi\)

ポイント：三角関数の周期

\(2(x+T)=2x+2\pi\) より、最小の正の周期は \(T=\pi\) です。
Q12 三角関数の周期性 ★☆☆

\(\cos(\theta+2\pi)\) と等しいものは？

  1. \(-\cos\theta\)
  2. \(\sin\theta\)
  3. \(\cos\theta\)
  4. \(-\sin\theta\)
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正解C. \(\cos\theta\)

ポイント：三角関数の周期性

cosの周期は \(2\pi\) なので、角に \(2\pi\) を加えても値は同じです。
Q13 三角関数の基本関係 ★☆☆

任意の角 \(\theta\) について成り立つ基本関係は？

  1. \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
  2. \(\sin\theta+\cos\theta=1\)
  3. \(\sin^2\theta-\cos^2\theta=1\)
  4. \(\sin\theta\cos\theta=1\)
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正解A. \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)

ポイント：三角関数の基本関係

単位円の方程式 \(x^2+y^2=1\) から得られる基本公式です。
Q14 三角関数の基本関係 ★☆☆

\(\sin\theta=\dfrac35\) かつ \(\cos\theta>0\) のとき、\(\cos\theta\) は？

  1. \(-\dfrac45\)
  2. \(-\dfrac35\)
  3. \(\dfrac35\)
  4. \(\dfrac45\)
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正解D. \(\dfrac45\)

ポイント：三角関数の基本関係

\(\cos^2\theta=1-9/25=16/25\)。正なので \(\cos\theta=4/5\) です。
Q15 三角関数の基本関係 ★☆☆

数学Ⅱの基本関係で、\(1+\tan^2\theta\) と等しいものは？

  1. \(\sin^2\theta\)
  2. \(\cos^2\theta\)
  3. \(\dfrac1{\cos^2\theta}\)
  4. \(\dfrac1{\sin^2\theta}\)
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正解C. \(\dfrac1{\cos^2\theta}\)

ポイント：三角関数の基本関係

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) の両辺を \(\cos^2\theta\) で割ります。
Q16 余弦の2倍角 ★☆☆

\(\cos2\theta\) の公式として正しいものは？

  1. \(\cos^2\theta-\sin^2\theta\)
  2. \(2\sin\theta\cos\theta\)
  3. \(\sin^2\theta+\cos^2\theta\)
  4. \(2\cos\theta\)
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正解A. \(\cos^2\theta-\sin^2\theta\)

ポイント：余弦の2倍角

余弦の加法定理から \(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\) です。
Q17 余弦の加法定理 ★☆☆

余弦の加法定理 \(\cos(\alpha+\beta)\) は？

  1. \(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
  2. \(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)
  3. \(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
  4. \(\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta\)
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正解A. \(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

ポイント：余弦の加法定理

余弦では和の公式の中央がマイナスになります。
Q18 余弦関数の値 ★☆☆

\(\cos0\) の値は？

  1. \(-1\)
  2. \(0\)
  3. \(1\)
  4. 定義されない
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正解C. \(1\)

ポイント：余弦関数の値

単位円で角0の点は \((1,0)\) なので、cosは1です。
Q19 加法定理の利用 ★★☆

加法定理を使って \(\sin75^\circ\) を求めると？

  1. \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
  2. \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)
  3. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
  4. \(\dfrac12\)
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正解A. \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)

ポイント：加法定理の利用

\(\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\frac12\) です。
Q20 加法定理の利用 ★★☆

加法定理を使って \(\cos15^\circ\) を求めると？

  1. \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
  2. \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)
  3. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
  4. \(\dfrac12\)
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正解A. \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)

ポイント：加法定理の利用

\(\cos(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\frac12\) です。
Q21 半角の公式 ★☆☆

\(\cos^2\theta\) を \(\cos2\theta\) で表すと？

  1. \(\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\)
  2. \(\dfrac{1-\cos2\theta}{2}\)
  3. \(1+\cos2\theta\)
  4. \(2\cos2\theta\)
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正解A. \(\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\)

ポイント：半角の公式

\(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\) を変形します。
Q22 単位円による定義 ★☆☆

単位円上で角 \(\theta\) に対応する点Pの座標は？

  1. \((\sin\theta,\cos\theta)\)
  2. \((\cos\theta,\sin\theta)\)
  3. \((\tan\theta,1)\)
  4. \((1,\tan\theta)\)
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正解B. \((\cos\theta,\sin\theta)\)

ポイント：単位円による定義

単位円上の点は \(P(\cos\theta,\sin\theta)\) と表します。
単位円上の点Pの座標がcosθとsinθで表される図
単位円上の点Pの座標がcosθとsinθで表される図
Q23 和を積に直す公式 ★★☆

和を積に直す公式で \(\sin A+\sin B\) は？

  1. \(2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}\)
  2. \(2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}\)
  3. \(\sin(A+B)\)
  4. \(2\sin A\sin B\)
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正解A. \(2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}\)

ポイント：和を積に直す公式

sinの和は「和の半分のsin×差の半分のcos」の2倍です。
Q24 度数法から弧度法 ★☆☆

\(60^\circ\) を弧度法で表すと？

  1. \(\dfrac{\pi}{6}\)
  2. \(\dfrac{\pi}{3}\)
  3. \(\dfrac{2\pi}{3}\)
  4. \(\dfrac{3\pi}{2}\)
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正解B. \(\dfrac{\pi}{3}\)

ポイント：度数法から弧度法

\(60^\circ\times\pi/180^\circ=\pi/3\) です。
Q25 度数法と弧度法 ★☆☆

数学Ⅱの弧度法で \(180^\circ\) を表すと？

  1. \(\dfrac{\pi}{2}\)
  2. \(\pi\)
  3. \(2\pi\)
  4. \(180\pi\)
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正解B. \(\pi\)

ポイント：度数法と弧度法

\(180^\circ=\pi\) ラジアンです。
Q26 弧の長さ ★☆☆

半径r、中心角 \(\theta\) ラジアンの扇形の弧の長さlは？

  1. \(l=r\theta\)
  2. \(l=2r\theta\)
  3. \(l=\pi r\theta\)
  4. \(l=r^2\theta\)
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正解A. \(l=r\theta\)

ポイント：弧の長さ

弧度法では弧の長さは \(l=r\theta\) と表せます。
Q27 弧度法から度数法 ★☆☆

\(\dfrac{5\pi}{6}\) ラジアンは何度？

  1. \(120^\circ\)
  2. \(135^\circ\)
  3. \(150^\circ\)
  4. \(300^\circ\)
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正解C. \(150^\circ\)

ポイント：弧度法から度数法

\((5\pi/6)\times180^\circ/\pi=150^\circ\) です。
Q28 扇形の面積 ★☆☆

半径r、中心角 \(\theta\) ラジアンの扇形の面積Sは？

  1. \(S=r\theta\)
  2. \(S=\dfrac12r^2\theta\)
  3. \(S=2r^2\theta\)
  4. \(S=\pi r^2\theta\)
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正解B. \(S=\dfrac12r^2\theta\)

ポイント：扇形の面積

扇形の面積は \(S=\frac12r^2\theta\) です。
Q29 扇形の面積 ★☆☆

半径4、中心角 \(\dfrac{\pi}{3}\) の扇形の面積は？

  1. \(\dfrac{4\pi}{3}\)
  2. \(\dfrac{8\pi}{3}\)
  3. \(4\pi\)
  4. \(8\pi\)
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正解B. \(\dfrac{8\pi}{3}\)

ポイント：扇形の面積

\(S=\frac12\cdot4^2\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}\) です。
Q30 正弦の2倍角 ★☆☆

\(\sin2\theta\) と等しいものは？

  1. \(2\sin\theta\cos\theta\)
  2. \(\sin^2\theta-\cos^2\theta\)
  3. \(2\sin^2\theta\)
  4. \(1-2\sin^2\theta\)
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正解A. \(2\sin\theta\cos\theta\)

ポイント：正弦の2倍角

正弦の加法定理で \(\alpha=\beta=\theta\) とすると得られます。
Q31 正弦の加法定理 ★☆☆

正弦の加法定理 \(\sin(\alpha+\beta)\) は？

  1. \(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
  2. \(\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta\)
  3. \(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)
  4. \(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
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正解A. \(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)

ポイント：正弦の加法定理

正弦の加法定理は \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\) です。
Q32 正弦関数の値域 ★☆☆

関数 \(y=\sin x\) の値域は？

  1. \(-1\leq y\leq1\)
  2. \(0\leq y\leq1\)
  3. \(-\pi\leq y\leq\pi\)
  4. すべての実数
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正解A. \(-1\leq y\leq1\)

ポイント：正弦関数の値域

単位円のy座標なので、sinの値は−1以上1以下です。
Q33 正弦関数の周期 ★☆☆

関数 \(y=\sin x\) の基本周期は？

  1. \(\dfrac{\pi}{2}\)
  2. \(\pi\)
  3. \(2\pi\)
  4. \(4\pi\)
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正解C. \(2\pi\)

ポイント：正弦関数の周期

sinのグラフは \(2\pi\) ごとに同じ形を繰り返します。
0から2πまでの正弦関数のグラフと周期
0から2πまでの正弦関数のグラフと周期
Q34 正弦関数の振幅 ★☆☆

関数 \(y=2\sin x\) の最大値は？

  1. \(1\)
  2. \(2\)
  3. \(\pi\)
  4. \(2\pi\)
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正解B. \(2\)

ポイント：正弦関数の振幅

\(-1\leq\sin x\leq1\) より、最大値は2です。
Q35 正接の2倍角 ★☆☆

\(\tan2\theta\) と等しいものは？

  1. \(\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)
  2. \(\dfrac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\)
  3. \(2\tan\theta\)
  4. \(\dfrac{1-\tan^2\theta}{2\tan\theta}\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)

ポイント：正接の2倍角

正接の加法定理で同じ角を2つ加えます。
Q36 正接の加法定理 ★☆☆

正接の加法定理 \(\tan(\alpha+\beta)\) は？

  1. \(\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)
  2. \(\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\)
  3. \(\tan\alpha+\tan\beta\)
  4. \(\dfrac{1-\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}\)
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正解A. \(\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)

ポイント：正接の加法定理

分子はtanの和、分母は1からtanの積を引きます。
Q37 正接の定義 ★☆☆

数学Ⅱの三角関数で、\(\tan\theta\) を \(\sin\theta,\cos\theta\) で表すと？

  1. \(\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\)
  2. \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
  3. \(\sin\theta\cos\theta\)
  4. \(\sin\theta+\cos\theta\)
答え・解説を見る

正解B. \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

ポイント：正接の定義

\(\cos\theta\ne0\) のとき \(\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta\) です。
Q38 正接関数の定義域 ★☆☆

関数 \(y=\tan x\) が定義されないxは？

  1. \(x=n\pi\)
  2. \(x=2n\pi\)
  3. \(x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)
  4. \(x=\dfrac{\pi}{4}+n\pi\)
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正解C. \(x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)

ポイント：正接関数の定義域

\(\cos x=0\) となる \(x=\pi/2+n\pi\) ではtanは定義されません。
Q39 積を和に直す公式 ★★☆

積を和に直す公式で \(\sin A\sin B\) は？

  1. \(\dfrac12\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}\)
  2. \(\dfrac12\{\cos(A-B)+\cos(A+B)\}\)
  3. \(\dfrac12\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}\)
  4. \(\cos(A+B)\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac12\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}\)

ポイント：積を和に直す公式

余弦の加法定理2本を組み合わせると得られます。
Q40 象限と符号 ★☆☆

角 \(\theta\) が第2象限にあるとき、符号が正の三角関数は？

  1. \(\sin\theta\) のみ
  2. \(\cos\theta\) のみ
  3. \(\tan\theta\) のみ
  4. 3つとも
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正解A. \(\sin\theta\) のみ

ポイント：象限と符号

第2象限ではy座標が正、x座標が負なので、sinだけが正です。