数学瞬発トレーニング 数学Ⅱ・式と証明

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式と証明の問題一覧

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この範囲から10問 公式・用語を確認
科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 式と証明 40 複素数と方程式 35 図形と方程式 35 三角関数 40 指数関数・対数関数 40 微分法・積分法 45
分野
すべて 40 3次の展開公式 3 3次の因数分解公式 4 対称式 1 高次式の因数分解 1 3次式の展開 1 二項定理 5 パスカルの三角形 1 整式の除法 3 剰余の定理 2 分数式の加法 1 分数式の減法 1 分数式の約分 1 恒等式 1 係数比較法 4 恒等式の利用 1 平方の非負性 1 等号成立条件 1 相加平均・相乗平均 4 平方の和 1 不等式の性質 2 不等式の証明 1
4問
Q1 相加平均・相乗平均 ★☆☆

正の数a、bについて、相加平均と相乗平均の関係は？

  1. \(\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)
  2. \(\dfrac{a+b}{2}\leq\sqrt{ab}\)
  3. \(a+b\leq ab\)
  4. \(a+b=\sqrt{ab}\)
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正解A. \(\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)

ポイント：相加平均・相乗平均

正の数では相加平均は相乗平均以上で、等号は \(a=b\) のときです。
相加平均が相乗平均以上である関係と等号条件
相加平均が相乗平均以上である関係と等号条件
Q2 相加平均・相乗平均 ★☆☆

\(x>0\) のとき、\(x+\dfrac1x\) の最小値は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(2\)
  4. \(4\)
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正解C. \(2\)

ポイント：相加平均・相乗平均

相加平均・相乗平均より \(x+1/x\geq2\sqrt{x\cdot1/x}=2\)。等号は \(x=1\) です。
Q3 相加平均・相乗平均 ★★☆

正の数x、yが \(x+y=10\) を満たすとき、\(xy\) の最大値は？

  1. \(10\)
  2. \(20\)
  3. \(25\)
  4. \(100\)
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正解C. \(25\)

ポイント：相加平均・相乗平均

相加平均・相乗平均より \(\sqrt{xy}\leq5\) なので \(xy\leq25\)。等号は \(x=y=5\) です。
Q4 相加平均・相乗平均 ★★☆

\(x>0\) のとき、\(x+\dfrac4x\) の最小値は？

  1. \(2\)
  2. \(4\)
  3. \(5\)
  4. \(8\)
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正解B. \(4\)

ポイント：相加平均・相乗平均

相加平均・相乗平均より \(x+4/x\geq2\sqrt4=4\)。等号は \(x=2\) です。