数学瞬発トレーニング 数学Ⅱ・式と証明

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式と証明の問題一覧

問題をまとめて確認し、答えと解説を開きながら復習できます。

この範囲から10問 公式・用語を確認
科目
数学Ⅰ 数学A 数学Ⅱ 数学B 数学Ⅲ 数学C
単元
すべて 式と証明 40 複素数と方程式 35 図形と方程式 35 三角関数 40 指数関数・対数関数 40 微分法・積分法 45
分野
すべて 40 3次の展開公式 3 3次の因数分解公式 4 対称式 1 高次式の因数分解 1 3次式の展開 1 二項定理 5 パスカルの三角形 1 整式の除法 3 剰余の定理 2 分数式の加法 1 分数式の減法 1 分数式の約分 1 恒等式 1 係数比較法 4 恒等式の利用 1 平方の非負性 1 等号成立条件 1 相加平均・相乗平均 4 平方の和 1 不等式の性質 2 不等式の証明 1
5問
Q1 二項定理 ★☆☆

\((a+b)^n\) の展開における一般項は？

  1. \({}_nC_r a^{n-r}b^r\)
  2. \({}_nP_r a^{n-r}b^r\)
  3. \(n a^{n-r}b^r\)
  4. \(a^n+b^n\)
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正解A. \({}_nC_r a^{n-r}b^r\)

ポイント：二項定理

二項定理では、\(r=0,1,\ldots,n\) に対して \({}_nC_r a^{n-r}b^r\) が現れます。
Q2 二項定理 ★☆☆

\((x+1)^5\) の \(x^2\) の係数は？

  1. \(5\)
  2. \(10\)
  3. \(20\)
  4. \(25\)
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正解B. \(10\)

ポイント：二項定理

\(x^2\) の項は \({}_5C_2x^2\) なので、係数は10です。
Q3 二項定理 ★★☆

\((a+b)^n\) の展開係数の総和は？

  1. \(n\)
  2. \(n^2\)
  3. \(2^n\)
  4. \(n!\)
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正解C. \(2^n\)

ポイント：二項定理

\(a=b=1\) を代入すると、係数の総和は \((1+1)^n=2^n\) です。
Q4 二項定理 ★★☆

\((2x-1)^4\) の \(x^3\) の係数は？

  1. \(-32\)
  2. \(-16\)
  3. \(16\)
  4. \(32\)
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正解A. \(-32\)

ポイント：二項定理

\({}_4C_3(2x)^3(-1)=4\cdot8x^3\cdot(-1)=-32x^3\) です。
Q5 二項定理 ★★★

\((x+\dfrac1x)^4\) の定数項は？

  1. \(4\)
  2. \(6\)
  3. \(8\)
  4. \(12\)
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正解B. \(6\)

ポイント：二項定理

一般項のxの指数が0になるのは2個ずつ選ぶ場合で、係数は \({}_4C_2=6\) です。