数学瞬発トレーニング 数学A・場合の数と確率

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場合の数と確率の問題一覧

問題をまとめて確認し、答えと解説を開きながら復習できます。

この範囲から10問
科目
数学Ⅰ 数学A
単元
すべて 場合の数と確率 40 図形の性質 35 数学と人間の活動 25
分野
すべて 40 和の法則 1 積の法則 4 部分集合の個数 1 0を含む数の構成 1 条件付きの数え上げ 1 順列 5 円順列 1 同じものを含む順列 1 隣り合う順列 1 隣り合わない順列 1 条件付き順列 1 組合せ 3 条件付き組合せ 1 特定の人を含む組合せ 1 特定の人を含まない組合せ 1 組合せの図形への利用 1 組合せの利用 1 確率 3 さいころの確率 1 余事象の確率 1 確率の乗法 1 反復試行の確率 2 条件付き確率 3 独立な事象 1 期待値 2
40問
Q1 0を含む数の構成 ★★☆

数字0、1、2、3から異なる2個を使って作る2桁の整数は何個？

  1. 6個
  2. 8個
  3. 9個
  4. 12個
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正解C. 9個

ポイント：0を含む数の構成

十の位は0以外の3通り、一の位は残り3通りなので、\(3\cdot3=9\) 個です。
Q2 さいころの確率 ★☆☆

大小2個のさいころを投げるとき、目の和が7になる確率は？

  1. \(\dfrac1{12}\)
  2. \(\dfrac16\)
  3. \(\dfrac7{36}\)
  4. \(\dfrac13\)
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正解B. \(\dfrac16\)

ポイント：さいころの確率

和が7になる出方は6通り、全体は36通りなので、\(6/36=1/6\) です。
2個のさいころの36通りと和が7になる6通りを示す表
2個のさいころの36通りと和が7になる6通りを示す表
Q3 余事象の確率 ★☆☆

2枚の硬貨を投げるとき、少なくとも1枚が表になる確率は？

  1. \(\dfrac14\)
  2. \(\dfrac12\)
  3. \(\dfrac34\)
  4. \(1\)
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正解C. \(\dfrac34\)

ポイント：余事象の確率

余事象「2枚とも裏」の確率は \(1/4\) なので、\(1-1/4=3/4\) です。
Q4 円順列 ★☆☆

5人が円形のテーブルに座る方法は何通り？

  1. 24通り
  2. 60通り
  3. 120通り
  4. 240通り
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正解A. 24通り

ポイント：円順列

回転して一致する並びを同じとみなす円順列なので、\((5-1)!=24\) 通りです。
Q5 反復試行の確率 ★★☆

3枚の硬貨を投げるとき、表がちょうど1枚出る確率は？

  1. \(\dfrac18\)
  2. \(\dfrac14\)
  3. \(\dfrac38\)
  4. \(\dfrac12\)
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正解C. \(\dfrac38\)

ポイント：反復試行の確率

表になる硬貨の選び方が \({}_3C_1=3\) 通り、全体は \(2^3=8\) 通りなので \(3/8\) です。
Q6 反復試行の確率 ★★☆

成功確率 \(1/2\) の試行を3回行うとき、ちょうど2回成功する確率は？

  1. \(\dfrac18\)
  2. \(\dfrac14\)
  3. \(\dfrac38\)
  4. \(\dfrac34\)
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正解C. \(\dfrac38\)

ポイント：反復試行の確率

\({}_3C_2(1/2)^2(1/2)=3/8\) です。
Q7 同じものを含む順列 ★★☆

文字LEVELの5文字をすべて並べる方法は何通り？

  1. 20通り
  2. 30通り
  3. 60通り
  4. 120通り
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正解B. 30通り

ポイント：同じものを含む順列

Lが2個、Eが2個あるので、\(5!/(2!2!)=30\) 通りです。
Q8 和の法則 ★☆☆

互いに同時には起こらない選び方が、一方は3通り、他方は4通りある。全部で何通り？

  1. 7通り
  2. 12通り
  3. 16通り
  4. 24通り
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正解A. 7通り

ポイント：和の法則

どちらか一方を選ぶ場合は和の法則を使い、\(3+4=7\) 通りです。
Q9 期待値 ★☆☆

1個の公平なさいころを1回投げたとき、出る目の期待値は？

  1. \(3\)
  2. \(3.5\)
  3. \(4\)
  4. \(6\)
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正解B. \(3.5\)

ポイント：期待値

\((1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5\) です。
Q10 期待値 ★☆☆

10%の確率で1000円、90%の確率で0円を受け取るくじの賞金の期待値は？

  1. 10円
  2. 100円
  3. 900円
  4. 1000円
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正解B. 100円

ポイント：期待値

\(1000\cdot0.1+0\cdot0.9=100\) 円です。
Q11 条件付きの数え上げ ★★☆

数字1、2、3、4、5から異なる3個を使って作る3桁の偶数は何個？

  1. 12個
  2. 18個
  3. 24個
  4. 60個
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正解C. 24個

ポイント：条件付きの数え上げ

一の位は2または4の2通り。百の位4通り、十の位3通りなので \(2\cdot4\cdot3=24\) 個です。
Q12 条件付き確率 ★☆☆

\(P(B)>0\) のとき、条件付き確率 \(P(A\mid B)\) は？

  1. \(\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
  2. \(\dfrac{P(A)}{P(B)}\)
  3. \(P(A)+P(B)\)
  4. \(P(A)P(B)\)
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正解A. \(\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

ポイント：条件付き確率

事象Bが起こった範囲を全体とみるので、\(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\) です。
Q13 条件付き確率 ★☆☆

トランプから1枚引き、赤いカードだと分かっているとき、それがハートである確率は？

  1. \(\dfrac14\)
  2. \(\dfrac12\)
  3. \(\dfrac{13}{52}\)
  4. \(\dfrac{26}{52}\)
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正解B. \(\dfrac12\)

ポイント：条件付き確率

赤いカード26枚のうちハートは13枚なので、\(13/26=1/2\) です。
Q14 条件付き確率 ★★☆

大小2個のさいころの和が8と分かっているとき、大きいさいころの目が偶数である確率は？

  1. \(\dfrac25\)
  2. \(\dfrac12\)
  3. \(\dfrac35\)
  4. \(\dfrac23\)
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正解C. \(\dfrac35\)

ポイント：条件付き確率

和が8の出方は \((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\) の5通り。そのうち大きいさいころが偶数は3通りです。
Q15 条件付き組合せ ★★☆

男子5人、女子4人から男子2人、女子1人を選ぶ方法は？

  1. 20通り
  2. 30通り
  3. 40通り
  4. 60通り
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正解C. 40通り

ポイント：条件付き組合せ

\({}_5C_2\cdot{}_4C_1=10\cdot4=40\) 通りです。
Q16 条件付き順列 ★★☆

5人を1列に並べるとき、Aが列の端にいる並びは何通り？

  1. 24通り
  2. 48通り
  3. 60通り
  4. 120通り
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正解B. 48通り

ポイント：条件付き順列

Aの位置は左右の端の2通り、残り4人は \(4!\) 通りなので、\(2\cdot24=48\) 通りです。
Q17 特定の人を含まない組合せ ★★☆

8人から3人の委員を選ぶとき、Aを含まない選び方は？

  1. 21通り
  2. 28通り
  3. 35通り
  4. 56通り
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正解C. 35通り

ポイント：特定の人を含まない組合せ

A以外の7人から3人を選ぶので、\({}_7C_3=35\) 通りです。
Q18 特定の人を含む組合せ ★★☆

8人から3人の委員を選ぶとき、Aを必ず含む選び方は？

  1. 15通り
  2. 21通り
  3. 35通り
  4. 56通り
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正解B. 21通り

ポイント：特定の人を含む組合せ

A以外の7人から残り2人を選ぶので、\({}_7C_2=21\) 通りです。
Q19 独立な事象 ★☆☆

事象A、Bが独立であるとき成り立つ式は？

  1. \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
  2. \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)\)
  3. \(P(A)=P(B)\)
  4. \(P(A\cup B)=0\)
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正解A. \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)

ポイント：独立な事象

独立な事象では、一方が起こっても他方の確率が変わらず、積の関係が成り立ちます。
Q20 確率 ★☆☆

1個のさいころを投げるとき、偶数の目が出る確率は？

  1. \(\dfrac16\)
  2. \(\dfrac13\)
  3. \(\dfrac12\)
  4. \(\dfrac23\)
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正解C. \(\dfrac12\)

ポイント：確率

偶数は2、4、6の3通りなので、\(3/6=1/2\) です。
Q21 確率 ★☆☆

2枚の硬貨を投げるとき、2枚とも表になる確率は？

  1. \(\dfrac14\)
  2. \(\dfrac13\)
  3. \(\dfrac12\)
  4. \(\dfrac34\)
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正解A. \(\dfrac14\)

ポイント：確率

表裏の出方4通りのうち、表表は1通りなので \(1/4\) です。
2枚の硬貨の表裏4通りを示す樹形図
2枚の硬貨の表裏4通りを示す樹形図
Q22 確率 ★☆☆

赤玉3個、青玉2個が入った袋から1個取り出すとき、赤玉の確率は？

  1. \(\dfrac25\)
  2. \(\dfrac35\)
  3. \(\dfrac12\)
  4. \(\dfrac23\)
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正解B. \(\dfrac35\)

ポイント：確率

全5個のうち赤玉は3個なので、確率は \(3/5\) です。
Q23 確率の乗法 ★★☆

赤玉3個、青玉2個の袋から戻さず2個取り出す。赤、青の順になる確率は？

  1. \(\dfrac15\)
  2. \(\dfrac3{10}\)
  3. \(\dfrac25\)
  4. \(\dfrac35\)
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正解B. \(\dfrac3{10}\)

ポイント：確率の乗法

1個目が赤は \(3/5\)、その後青は \(2/4\) なので、積は \(3/10\) です。
Q24 積の法則 ★☆☆

上着が3種類、ズボンが4種類ある。上下の組合せは何通り？

  1. 7通り
  2. 12通り
  3. 16通り
  4. 24通り
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正解B. 12通り

ポイント：積の法則

上着1つにつきズボンが4通りあるので、積の法則より \(3\cdot4=12\) 通りです。
Q25 積の法則 ★☆☆

4個の異なる数字から、重複なく2個を選んで並べる方法は何通り？

  1. 6通り
  2. 8通り
  3. 12通り
  4. 16通り
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正解C. 12通り

ポイント：積の法則

1桁目が4通り、2桁目が残り3通りなので、\(4\cdot3=12\) 通りです。
Q26 積の法則 ★☆☆

A市からB市への道が3本、B市からC市への道が2本ある。A市からB市を経由してC市へ行く方法は？

  1. 5通り
  2. 6通り
  3. 8通り
  4. 9通り
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正解B. 6通り

ポイント：積の法則

各A-Bの道に対してB-Cの道が2本あるので、\(3\cdot2=6\) 通りです。
Q27 積の法則 ★☆☆

大小2個のさいころを投げるとき、出方は全部で何通り？

  1. 6通り
  2. 12通り
  3. 21通り
  4. 36通り
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正解D. 36通り

ポイント：積の法則

大きいさいころ6通りのそれぞれに小さいさいころ6通りがあるので、\(6^2=36\) 通りです。
Q28 組合せ ★☆☆

異なる \(n\) 個から \(r\) 個を選ぶ組合せ \({}_nC_r\) は？

  1. \(\dfrac{n!}{r!}\)
  2. \(\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)
  3. \(\dfrac{r!}{n!}\)
  4. \(n^r\)
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正解B. \(\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)

ポイント：組合せ

順序を区別しないため、\({}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\) です。
Q29 組合せ ★☆☆

5人から2人を選ぶ方法 \({}_5C_2\) は？

  1. 5通り
  2. 10通り
  3. 20通り
  4. 25通り
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正解B. 10通り

ポイント：組合せ

\({}_5C_2=5\cdot4/(2\cdot1)=10\) 通りです。
Q30 組合せ ★☆☆

7人から3人を選ぶ方法は何通り？

  1. 21通り
  2. 35通り
  3. 105通り
  4. 210通り
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正解B. 35通り

ポイント：組合せ

\({}_7C_3=7\cdot6\cdot5/(3\cdot2\cdot1)=35\) 通りです。
Q31 組合せの利用 ★☆☆

10人が互いに1回ずつ握手するとき、握手は全部で何回？

  1. 20回
  2. 45回
  3. 90回
  4. 100回
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正解B. 45回

ポイント：組合せの利用

握手する2人の選び方なので、\({}_{10}C_2=45\) 回です。
Q32 組合せの図形への利用 ★★☆

正六角形の対角線は全部で何本？

  1. 6本
  2. 9本
  3. 12本
  4. 15本
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正解B. 9本

ポイント：組合せの図形への利用

頂点2個の選び方 \({}_6C_2=15\) から6本の辺を引き、9本です。
Q33 部分集合の個数 ★☆☆

4個の要素をもつ集合の部分集合は全部でいくつ？

  1. 4個
  2. 8個
  3. 16個
  4. 24個
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正解C. 16個

ポイント：部分集合の個数

各要素について入れる・入れないの2通りがあるため、\(2^4=16\) 個です。
Q34 隣り合う順列 ★★☆

6人を1列に並べるとき、特定のA、Bが隣り合う並びは何通り？

  1. 120通り
  2. 240通り
  3. 360通り
  4. 480通り
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正解B. 240通り

ポイント：隣り合う順列

A、Bを1つのかたまりとみると5個の順列で、内部の順が2通り。\(5!\cdot2=240\) 通りです。
Q35 隣り合わない順列 ★★☆

6人を1列に並べるとき、特定のA、Bが隣り合わない並びは何通り？

  1. 240通り
  2. 360通り
  3. 480通り
  4. 720通り
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正解C. 480通り

ポイント：隣り合わない順列

全体 \(6!=720\) 通りから隣り合う240通りを引き、480通りです。
Q36 順列 ★☆☆

異なる \(n\) 個をすべて1列に並べる順列の総数は？

  1. \(n\)
  2. \(n^2\)
  3. \(n!\)
  4. \(2^n\)
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正解C. \(n!\)

ポイント：順列

先頭から \(n,n-1,\ldots,1\) 通りなので、積は \(n!\) です。
Q37 順列 ★☆☆

異なる5個をすべて1列に並べる方法は何通り？

  1. 25通り
  2. 60通り
  3. 120通り
  4. 125通り
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正解C. 120通り

ポイント：順列

\(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\) 通りです。
Q38 順列 ★☆☆

異なる5個から2個を選んで順に並べる方法 \({}_5P_2\) は？

  1. 10通り
  2. 20通り
  3. 25通り
  4. 60通り
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正解B. 20通り

ポイント：順列

\({}_5P_2=5\cdot4=20\) 通りです。
Q39 順列 ★☆☆

4人を1列に並べる方法は何通り？

  1. 4通り
  2. 12通り
  3. 16通り
  4. 24通り
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正解D. 24通り

ポイント：順列

異なる4人の順列なので、\(4!=24\) 通りです。
Q40 順列 ★☆☆

異なる4冊の本から3冊を選んで本棚に並べる方法は何通り？

  1. 4通り
  2. 12通り
  3. 24通り
  4. 64通り
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正解C. 24通り

ポイント：順列

選んだ順序も区別するので、\({}_4P_3=4\cdot3\cdot2=24\) 通りです。