数学瞬発トレーニング 数学A・図形の性質

QUESTION LIBRARY

図形の性質の問題一覧

問題をまとめて確認し、答えと解説を開きながら復習できます。

この範囲から10問
科目
数学Ⅰ 数学A
単元
すべて 場合の数と確率 40 図形の性質 35 数学と人間の活動 25
分野
すべて 35 内分 1 外分 1 角の二等分線の定理 1 角の二等分線の定理の逆 1 重心 2 外心 1 内心 1 垂心 1 三角形の中心 1 チェバの定理 1 メネラウスの定理 1 円周角の定理 1 直径と円周角 1 弦と円周角 1 円に内接する四角形 2 接線と半径 1 接弦定理 1 方べきの定理 2 接線と方べき 1 接線の長さ 1 2円の位置関係 2 垂直二等分線 1 角の二等分線 1 外心の作図 1 内心の作図 1 ねじれの位置 1 直線と平面の垂直 1 オイラーの多面体定理 1 多面体 1 正多面体 2
35問
Q1 2円の位置関係 ★☆☆

半径3と5の2つの円が外接するとき、中心間の距離は？

  1. \(2\)
  2. \(4\)
  3. \(8\)
  4. \(15\)
答え・解説を見る

正解C. \(8\)

ポイント：2円の位置関係

外接するとき中心間の距離は半径の和なので、\(3+5=8\) です。
Q2 2円の位置関係 ★☆☆

半径3と5の2つの円が内接するとき、中心間の距離は？

  1. \(2\)
  2. \(3\)
  3. \(5\)
  4. \(8\)
答え・解説を見る

正解A. \(2\)

ポイント：2円の位置関係

内接するとき中心間の距離は半径の差なので、\(5-3=2\) です。
Q3 ねじれの位置 ★☆☆

空間内で、同一平面上になく交わりもしない2直線の位置関係を何という？

  1. 平行
  2. 垂直
  3. ねじれの位置
  4. 一致
答え・解説を見る

正解C. ねじれの位置

ポイント：ねじれの位置

同一平面上にないため平行でもなく、交わらない2直線はねじれの位置にあります。
Q4 オイラーの多面体定理 ★☆☆

凸多面体の頂点数を \(V\)、辺数を \(E\)、面数を \(F\) とするとき、オイラーの多面体定理は？

  1. \(V+E+F=2\)
  2. \(V-E+F=2\)
  3. \(V+E-F=2\)
  4. \(V-E-F=0\)
答え・解説を見る

正解B. \(V-E+F=2\)

ポイント：オイラーの多面体定理

凸多面体では \(V-E+F=2\) が成り立ちます。
Q5 チェバの定理 ★★☆

三角形ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれD、E、Fがある。AD、BE、CFが1点で交わるためのチェバの定理の条件は？

  1. \(\dfrac{BD}{DC}\dfrac{CE}{EA}\dfrac{AF}{FB}=1\)
  2. \(\dfrac{BD}{DC}+\dfrac{CE}{EA}+\dfrac{AF}{FB}=1\)
  3. \(BD+CE+AF=DC+EA+FB\)
  4. \(BD\cdot CE\cdot AF=1\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac{BD}{DC}\dfrac{CE}{EA}\dfrac{AF}{FB}=1\)

ポイント：チェバの定理

3本の線分が1点で交わる条件は、3つの辺の比の積が1になることです。
Q6 メネラウスの定理 ★★☆

三角形ABCの辺BC、CA、ABまたはその延長上にD、E、Fがある。D、E、Fが一直線上にあるためのメネラウスの定理の条件は？

  1. \(\dfrac{BD}{DC}\dfrac{CE}{EA}\dfrac{AF}{FB}=1\)
  2. \(\dfrac{BD}{DC}+\dfrac{CE}{EA}+\dfrac{AF}{FB}=1\)
  3. \(BD\cdot CE\cdot AF=DC+EA+FB\)
  4. \(BD=CE=AF\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac{BD}{DC}\dfrac{CE}{EA}\dfrac{AF}{FB}=1\)

ポイント：メネラウスの定理

長さを用いる形では、3つの比の積が1になることが一直線上にある条件です。
Q7 三角形の中心 ★☆☆

正三角形で、外心・内心・重心・垂心の関係は？

  1. すべて異なる
  2. 外心と内心だけ一致
  3. 重心と垂心だけ一致
  4. 4つすべて一致
答え・解説を見る

正解D. 4つすべて一致

ポイント：三角形の中心

正三角形では対称性により、4つの中心はすべて同じ点になります。
Q8 内分 ★☆☆

長さ10の線分ABを点Pが \(AP:PB=2:3\) に内分するとき、\(AP\) は？

  1. \(2\)
  2. \(4\)
  3. \(5\)
  4. \(6\)
答え・解説を見る

正解B. \(4\)

ポイント：内分

全体を \(2+3=5\) 等分した2つ分なので、\(AP=10\cdot2/5=4\) です。
Q9 内心 ★☆☆

三角形の3つの内角の二等分線が交わる点は？

  1. 外心
  2. 内心
  3. 重心
  4. 垂心
答え・解説を見る

正解B. 内心

ポイント：内心

内心は3辺から等距離にあり、三角形の内接円の中心です。
Q10 内心の作図 ★☆☆

三角形の内接円の中心を作図するには、何の交点を求める？

  1. 2辺の垂直二等分線
  2. 2つの内角の二等分線
  3. 2本の中線
  4. 2本の高さ
答え・解説を見る

正解B. 2つの内角の二等分線

ポイント：内心の作図

内心は各辺から等距離なので、2つの内角の二等分線の交点として作図できます。
Q11 円に内接する四角形 ★☆☆

円に内接する四角形の向かい合う角の和は？

  1. \(90^\circ\)
  2. \(120^\circ\)
  3. \(180^\circ\)
  4. \(360^\circ\)
答え・解説を見る

正解C. \(180^\circ\)

ポイント：円に内接する四角形

円に内接する四角形では、対角の和は180度です。
Q12 円に内接する四角形 ★☆☆

円に内接する四角形ABCDで \(\angle A=70^\circ\) のとき、\(\angle C\) は？

  1. \(70^\circ\)
  2. \(90^\circ\)
  3. \(110^\circ\)
  4. \(290^\circ\)
答え・解説を見る

正解C. \(110^\circ\)

ポイント：円に内接する四角形

対角の和が180度なので、\(\angle C=180^\circ-70^\circ=110^\circ\) です。
Q13 円周角の定理 ★☆☆

同じ弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の何倍？

  1. \(\dfrac12\)倍
  2. 1倍
  3. 2倍
  4. 4倍
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac12\)倍

ポイント：円周角の定理

円周角は、同じ弧に対する中心角の半分です。
同じ弧に対する中心角と円周角の関係を示す図
同じ弧に対する中心角と円周角の関係を示す図
Q14 垂心 ★☆☆

三角形の3本の高さが交わる点は？

  1. 外心
  2. 内心
  3. 重心
  4. 垂心
答え・解説を見る

正解D. 垂心

ポイント：垂心

各頂点から対辺またはその延長へ下ろした垂線の交点を垂心といいます。
Q15 垂直二等分線 ★☆☆

2点A、Bから等距離にある点の軌跡は？

  1. 直線AB
  2. 線分ABの垂直二等分線
  3. Aを中心とする円
  4. 角Aの二等分線
答え・解説を見る

正解B. 線分ABの垂直二等分線

ポイント：垂直二等分線

2点から等距離にある点を集めると、線分ABの垂直二等分線になります。
Q16 外分 ★★☆

数直線上で \(A=0, B=6\) とする。点Pが線分ABを \(AP:PB=2:1\) に外分し、PがBの右側にあるとき、Pの座標は？

  1. \(4\)
  2. \(8\)
  3. \(10\)
  4. \(12\)
答え・解説を見る

正解D. \(12\)

ポイント：外分

Pを \(x>6\) とすると \(x:(x-6)=2:1\)。よって \(x=12\) です。
Q17 外心 ★☆☆

三角形の3辺の垂直二等分線が交わる点は？

  1. 外心
  2. 内心
  3. 重心
  4. 垂心
答え・解説を見る

正解A. 外心

ポイント：外心

外心は3頂点から等距離にあり、三角形の外接円の中心です。
Q18 外心の作図 ★☆☆

三角形の外接円の中心を作図するには、何の交点を求める？

  1. 2辺の垂直二等分線
  2. 2つの内角の二等分線
  3. 2本の中線
  4. 2本の高さ
答え・解説を見る

正解A. 2辺の垂直二等分線

ポイント：外心の作図

外心は各頂点から等距離なので、2辺の垂直二等分線の交点として作図できます。
Q19 多面体 ★☆☆

立方体の頂点数、辺数、面数の組は？

  1. 6、8、12
  2. 8、12、6
  3. 8、6、12
  4. 12、8、6
答え・解説を見る

正解B. 8、12、6

ポイント：多面体

立方体は頂点8個、辺12本、面6枚です。
Q20 弦と円周角 ★☆☆

同じ円で、等しい長さの弦に対する円周角は？

  1. 等しい
  2. 一方が他方の2倍
  3. 和が90度
  4. 必ず直角
答え・解説を見る

正解A. 等しい

ポイント：弦と円周角

等しい弦に対する弧は等しいため、その円周角も等しくなります。
Q21 接弦定理 ★☆☆

円の接線と接点を通る弦がつくる角は、何に等しい？

  1. その弦に対する円周角
  2. その弦に対する中心角
  3. 必ず90度
  4. 円の半径
答え・解説を見る

正解A. その弦に対する円周角

ポイント：接弦定理

接弦定理より、接線と弦のなす角は、その弦に対する円周角に等しくなります。
Q22 接線と半径 ★☆☆

円の接点をT、中心をOとする。接線と半径OTのなす角は？

  1. \(0^\circ\)
  2. \(45^\circ\)
  3. \(90^\circ\)
  4. \(180^\circ\)
答え・解説を見る

正解C. \(90^\circ\)

ポイント：接線と半径

円の接線は接点を通る半径に垂直です。
Q23 接線と方べき ★★☆

円の外部の点Pから引いた接線の接点をT、Pを通る割線と円の交点をA、Bとすると？

  1. \(PT=PA+PB\)
  2. \(PT^2=PA\cdot PB\)
  3. \(PT=PA\cdot PB\)
  4. \(PT^2=PA+PB\)
答え・解説を見る

正解B. \(PT^2=PA\cdot PB\)

ポイント：接線と方べき

接線と割線に対する方べきの定理より、\(PT^2=PA\cdot PB\) です。
Q24 接線の長さ ★☆☆

円の外部の点Pから引いた2本の接線の接点をA、Bとする。\(PA\) と \(PB\) の関係は？

  1. \(PA=PB\)
  2. \(PA=2PB\)
  3. \(PA+PB=0\)
  4. 比較できない
答え・解説を見る

正解A. \(PA=PB\)

ポイント：接線の長さ

同じ外部の点から円へ引いた2本の接線の長さは等しくなります。
Q25 方べきの定理 ★☆☆

円の内部の点Pを通る2本の弦AB、CDについて成り立つ方べきの関係は？

  1. \(PA+PB=PC+PD\)
  2. \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)
  3. \(PA/PB=PC/PD\)
  4. \(PA^2+PB^2=PC^2+PD^2\)
答え・解説を見る

正解B. \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)

ポイント：方べきの定理

交わる弦について、各弦で分けられた線分の長さの積が等しくなります。
Q26 方べきの定理 ★☆☆

円の内部で弦ABとCDが点Pで交わり、\(PA=2, PB=6, PC=3\) のとき、\(PD\) は？

  1. \(2\)
  2. \(3\)
  3. \(4\)
  4. \(6\)
答え・解説を見る

正解C. \(4\)

ポイント：方べきの定理

\(PA\cdot PB=PC\cdot PD\) より、\(2\cdot6=3\cdot PD\) なので \(PD=4\) です。
円内で2本の弦が点Pで交わる方べきの図
円内で2本の弦が点Pで交わる方べきの図
Q27 正多面体 ★☆☆

正多面体は全部で何種類？

  1. 4種類
  2. 5種類
  3. 6種類
  4. 無限にある
答え・解説を見る

正解B. 5種類

ポイント：正多面体

正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種類です。
Q28 正多面体 ★☆☆

正四面体の辺の本数は？

  1. 4本
  2. 6本
  3. 8本
  4. 12本
答え・解説を見る

正解B. 6本

ポイント：正多面体

4つの頂点から2つを選ぶ組合せと同じで、\({}_4C_2=6\) 本です。
Q29 直径と円周角 ★☆☆

円の直径を一辺とする円周角は？

  1. \(30^\circ\)
  2. \(45^\circ\)
  3. \(60^\circ\)
  4. \(90^\circ\)
答え・解説を見る

正解D. \(90^\circ\)

ポイント：直径と円周角

直径に対する中心角は180度なので、円周角はその半分の90度です。
Q30 直線と平面の垂直 ★★☆

直線 \(l\) が平面 \(\alpha\) 上の交わる2直線に垂直であるとき、\(l\) と \(\alpha\) の関係は？

  1. 平行
  2. 垂直
  3. ねじれの位置
  4. 必ず平面上にある
答え・解説を見る

正解B. 垂直

ポイント：直線と平面の垂直

平面上の交わる2直線の両方に垂直なら、直線はその平面に垂直です。
Q31 角の二等分線 ★☆☆

交わる2直線から等距離にある点の軌跡は？

  1. 2直線がつくる角の二等分線
  2. 2直線の垂線
  3. 2直線の中点
  4. 1つの円
答え・解説を見る

正解A. 2直線がつくる角の二等分線

ポイント：角の二等分線

角の内部・外部を含め、2本の角の二等分線上の点は2直線から等距離です。
Q32 角の二等分線の定理 ★☆☆

三角形ABCで、Aの角の二等分線と辺BCの交点をDとする。\(AB:AC=3:5,\ BC=8\) のとき、\(BD\) は？

  1. \(3\)
  2. \(4\)
  3. \(5\)
  4. \(6\)
答え・解説を見る

正解A. \(3\)

ポイント：角の二等分線の定理

角の二等分線の定理より \(BD:DC=AB:AC=3:5\)。したがって \(BD=3\) です。
三角形ABCの角Aの二等分線ADと辺の比を示す図
三角形ABCの角Aの二等分線ADと辺の比を示す図
Q33 角の二等分線の定理の逆 ★★☆

三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、\(BD:DC=AB:AC\) が成り立つ。このときADについていえることは？

  1. BCの垂直二等分線
  2. Aの角の二等分線
  3. Aからの中線
  4. Aからの高さ
答え・解説を見る

正解B. Aの角の二等分線

ポイント：角の二等分線の定理の逆

角の二等分線の定理の逆により、ADは角Aの二等分線です。
Q34 重心 ★☆☆

三角形の重心は、各中線を頂点側からどの比に分ける？

  1. \(1:1\)
  2. \(2:1\)
  3. \(3:1\)
  4. \(3:2\)
答え・解説を見る

正解B. \(2:1\)

ポイント：重心

重心は3本の中線の交点で、各中線を頂点側から \(2:1\) に分けます。
Q35 重心 ★☆☆

三角形の3本の中線が交わる点は？

  1. 外心
  2. 内心
  3. 重心
  4. 垂心
答え・解説を見る

正解C. 重心

ポイント：重心

3本の中線の交点を重心といいます。