数学瞬発トレーニング 数学Ⅰ・集合と命題

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集合と命題の問題一覧

問題をまとめて確認し、答えと解説を開きながら復習できます。

この範囲から10問
科目
数学Ⅰ 数学A
単元
すべて 数と式 60 集合と命題 25 二次関数 100 図形と計量 40 データの分析 30
分野
すべて 25 要素と集合 1 空集合 1 部分集合の個数 1 部分集合 1 集合の表し方 1 共通部分 1 和集合 1 差集合 1 補集合 1 集合の要素の個数 3 排反な集合 1 補集合の要素数 1 ド・モルガンの法則 2 命題 1 命題の真偽 1 命題の否定 1 全称命題の否定 1 必要条件・十分条件 3 対偶 1 反例 1
25問
Q1 ド・モルガンの法則 ★★☆

\(\overline{A\cup B}\) と等しいものは？

  1. \(\overline A\cup\overline B\)
  2. \(\overline A\cap\overline B\)
  3. \(A\cap B\)
  4. \(A\cup\overline B\)
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正解B. \(\overline A\cap\overline B\)

ポイント：ド・モルガンの法則

和集合の補集合は、それぞれの補集合の共通部分です。
集合Aと集合Bのどちらにも属さない領域を示したベン図
集合Aと集合Bのどちらにも属さない領域を示したベン図
Q2 ド・モルガンの法則 ★★☆

\(\overline{A\cap B}\) と等しいものは？

  1. \(\overline A\cup\overline B\)
  2. \(\overline A\cap\overline B\)
  3. \(A\cup B\)
  4. \(\overline A\cap B\)
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正解A. \(\overline A\cup\overline B\)

ポイント：ド・モルガンの法則

共通部分の補集合は、それぞれの補集合の和集合です。
Q3 全称命題の否定 ★★☆

命題「すべての実数 \(x\) について \(P(x)\) が成り立つ」の否定は？

  1. すべての実数xについてP(x)が成り立たない
  2. P(x)が成り立たない実数xが少なくとも1つある
  3. P(x)が成り立つ実数xが少なくとも1つある
  4. どの実数xでもP(x)の真偽は不明である
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正解B. P(x)が成り立たない実数xが少なくとも1つある

ポイント：全称命題の否定

「すべて」の否定は「成り立たないものが少なくとも1つ存在する」です。
Q4 共通部分 ★☆☆

\(A=\{1,2,3\},\ B=\{2,3,4\}\) のとき、\(A\cap B\) は？

  1. \(\{1,4\}\)
  2. \(\{2,3\}\)
  3. \(\{1,2,3,4\}\)
  4. \(\varnothing\)
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正解B. \(\{2,3\}\)

ポイント：共通部分

共通部分は、両方の集合に属する要素を集めたものなので \(\{2,3\}\) です。
集合Aと集合Bが重なる共通部分を示したベン図
集合Aと集合Bが重なる共通部分を示したベン図
Q5 反例 ★☆☆

命題「\(x^2=4\) ならば \(x=2\)」が偽であることを示す反例は？

  1. \(x=-2\)
  2. \(x=0\)
  3. \(x=2\)
  4. \(x=4\)
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正解A. \(x=-2\)

ポイント：反例

\(x=-2\) では条件 \(x^2=4\) を満たしますが、結論 \(x=2\) を満たしません。
Q6 命題 ★☆☆

次のうち、真偽がはっきり定まる命題は？

  1. 数学は楽しい
  2. 今日は暑い
  3. \(2+3=5\)
  4. この問題は簡単だ
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正解C. \(2+3=5\)

ポイント：命題

\(2+3=5\) は客観的に真偽が定まるので命題です。
Q7 命題の否定 ★☆☆

命題「\(x>3\)」の否定は？

  1. \(x<3\)
  2. \(x\leq3\)
  3. \(x\geq3\)
  4. \(x=3\)
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正解B. \(x\leq3\)

ポイント：命題の否定

\(x>3\) ではない範囲には3も含まれるので、\(x\leq3\) です。
Q8 命題の真偽 ★☆☆

命題「すべての実数 \(x\) について \(x^2\geq0\)」の真偽は？

  1. 真
  2. 偽
  3. xによる
  4. 判定不能
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正解A. 真

ポイント：命題の真偽

実数の平方は必ず0以上なので、この命題は真です。
Q9 和集合 ★☆☆

\(A=\{1,2,3\},\ B=\{2,3,4\}\) のとき、\(A\cup B\) は？

  1. \(\{2,3\}\)
  2. \(\{1,4\}\)
  3. \(\{1,2,3,4\}\)
  4. \(\{1,2,2,3,3,4\}\)
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正解C. \(\{1,2,3,4\}\)

ポイント：和集合

和集合では重複を1つにまとめ、どちらかに属する要素をすべて集めます。
Q10 対偶 ★☆☆

命題 \(p\Rightarrow q\) の対偶は？

  1. \(q\Rightarrow p\)
  2. \(\overline p\Rightarrow\overline q\)
  3. \(\overline q\Rightarrow\overline p\)
  4. \(p\Rightarrow\overline q\)
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正解C. \(\overline q\Rightarrow\overline p\)

ポイント：対偶

結論と条件を入れ替え、それぞれを否定した \(\overline q\Rightarrow\overline p\) が対偶です。
Q11 差集合 ★☆☆

\(A=\{1,2,3,4\},\ B=\{2,4,6\}\) のとき、\(A\setminus B\) は？

  1. \(\{1,3\}\)
  2. \(\{2,4\}\)
  3. \(\{6\}\)
  4. \(\{1,3,6\}\)
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正解A. \(\{1,3\}\)

ポイント：差集合

\(A\) に属し \(B\) に属さない要素は1と3です。
Q12 必要条件・十分条件 ★★☆

実数 \(x\) について、\(p:x=2\)、\(q:x^2=4\) とする。\(p\) は \(q\) の何条件？

  1. 必要十分条件
  2. 必要条件だが十分条件でない
  3. 十分条件だが必要条件でない
  4. 必要条件でも十分条件でもない
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正解C. 十分条件だが必要条件でない

ポイント：必要条件・十分条件

\(x=2\Rightarrow x^2=4\) は真ですが、\(x^2=4\Rightarrow x=2\) は \(x=-2\) のため偽です。
Q13 必要条件・十分条件 ★★☆

整数 \(n\) について、「\(n\) が4の倍数」は「\(n\) が偶数」であるための何条件？

  1. 必要十分条件
  2. 必要条件だが十分条件でない
  3. 十分条件だが必要条件でない
  4. どちらでもない
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正解C. 十分条件だが必要条件でない

ポイント：必要条件・十分条件

4の倍数なら必ず偶数ですが、偶数が必ず4の倍数とは限りません。
Q14 必要条件・十分条件 ★★☆

四角形について、「長方形である」は「平行四辺形である」ための何条件？

  1. 必要十分条件
  2. 必要条件だが十分条件でない
  3. 十分条件だが必要条件でない
  4. どちらでもない
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正解C. 十分条件だが必要条件でない

ポイント：必要条件・十分条件

長方形は必ず平行四辺形ですが、平行四辺形が必ず長方形とは限りません。
Q15 排反な集合 ★☆☆

\(A\cap B=\varnothing\) が表すことは？

  1. AとBが等しい
  2. AがBの部分集合
  3. AとBに共通要素がない
  4. AとBを合わせると全体集合になる
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正解C. AとBに共通要素がない

ポイント：排反な集合

共通部分が空集合なので、\(A\) と \(B\) に共通する要素はありません。
Q16 空集合 ★☆☆

要素を1つももたない集合を表す記号は？

  1. \(\varnothing\)
  2. \(\infty\)
  3. \(\{0\}\)
  4. \(\{\varnothing\}\)
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正解A. \(\varnothing\)

ポイント：空集合

空集合は \(\varnothing\) で表します。\(\{0\}\) は0を要素にもつ集合です。
Q17 補集合 ★☆☆

全体集合 \(U=\{1,2,3,4,5\}\)、\(A=\{1,3,5\}\) のとき、\(\overline A\) は？

  1. \(\{1,3,5\}\)
  2. \(\{2,4\}\)
  3. \(\{1,2,3,4,5\}\)
  4. \(\varnothing\)
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正解B. \(\{2,4\}\)

ポイント：補集合

補集合は全体集合のうち \(A\) に属さない要素なので \(\{2,4\}\) です。
Q18 補集合の要素数 ★☆☆

全体集合 \(U\) の要素数が40、\(n(A)=17\) のとき、\(n(\overline A)\) は？

  1. \(17\)
  2. \(23\)
  3. \(40\)
  4. \(57\)
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正解B. \(23\)

ポイント：補集合の要素数

\(n(\overline A)=n(U)-n(A)=40-17=23\) です。
Q19 要素と集合 ★☆☆

集合 \(A=\{1,2,3\}\) に2が属することを表す記号は？

  1. \(2\in A\)
  2. \(2\subset A\)
  3. \(A\in2\)
  4. \(2\notin A\)
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正解A. \(2\in A\)

ポイント：要素と集合

要素が集合に属することは \(\in\) で表します。
Q20 部分集合 ★☆☆

\(A=\{1,2\},\ B=\{1,2,3\}\) の関係として正しいものは？

  1. \(A\subset B\)
  2. \(B\subset A\)
  3. \(A\in B\)
  4. \(A=B\)
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正解A. \(A\subset B\)

ポイント：部分集合

\(A\) のすべての要素が \(B\) に含まれるので、\(A\subset B\) です。
Q21 部分集合の個数 ★☆☆

集合 \(A=\{a,b,c\}\) の部分集合は全部でいくつ？

  1. 3個
  2. 6個
  3. 8個
  4. 9個
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正解C. 8個

ポイント：部分集合の個数

各要素を入れるか入れないかの2通りがあるので、\(2^3=8\) 個です。
Q22 集合の表し方 ★☆☆

\(A=\{x\mid x\text{は4以下の正の整数}\}\) を要素を書き並べて表すと？

  1. \(\{0,1,2,3,4\}\)
  2. \(\{1,2,3,4\}\)
  3. \(\{1,2,3\}\)
  4. \(\{4\}\)
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正解B. \(\{1,2,3,4\}\)

ポイント：集合の表し方

4以下の正の整数は1、2、3、4です。
Q23 集合の要素の個数 ★☆☆

\(n(A)=12,\ n(B)=9,\ n(A\cap B)=4\) のとき、\(n(A\cup B)\) は？

  1. \(17\)
  2. \(21\)
  3. \(25\)
  4. \(108\)
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正解A. \(17\)

ポイント：集合の要素の個数

\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=12+9-4=17\) です。
Q24 集合の要素の個数 ★★☆

30人のクラスで、サッカーが好きな人は18人、野球が好きな人は14人、両方好きな人は6人です。少なくとも一方が好きな人は？

  1. 20人
  2. 26人
  3. 32人
  4. 38人
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正解B. 26人

ポイント：集合の要素の個数

重複する6人を1回引き、\(18+14-6=26\) 人です。
Q25 集合の要素の個数 ★★☆

50人のうち、英語合格者が32人、数学合格者が28人、両方の合格者が20人です。どちらにも合格していない人は？

  1. 10人
  2. 20人
  3. 30人
  4. 40人
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正解A. 10人

ポイント：集合の要素の個数

少なくとも一方の合格者は \(32+28-20=40\) 人なので、\(50-40=10\) 人です。