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数と式の問題一覧

問題をまとめて確認し、答えと解説を開きながら復習できます。

この範囲から10問
60問
Q1 たすき掛け ★★☆

\(2x^2+7x+3\) を因数分解すると?

  1. \((2x+1)(x+3)\)
  2. \((2x+3)(x+1)\)
  3. \((x+1)(x+3)\)
  4. \((2x-1)(x-3)\)
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正解A. \((2x+1)(x+3)\)

ポイント:たすき掛け

展開して中項が\(6x+x=7x\)になるので、\((2x+1)(x+3)\) です。
Q2 たすき掛け ★★☆

\(6x^2-x-2\) を因数分解すると?

  1. \((3x+2)(2x-1)\)
  2. \((3x-2)(2x+1)\)
  3. \((6x+1)(x-2)\)
  4. \((3x-1)(2x+2)\)
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正解B. \((3x-2)(2x+1)\)

ポイント:たすき掛け

\((3x-2)(2x+1)=6x^2-x-2\) です。
Q3 一次不等式 ★☆☆

\(3x-5>7\) の解は?

  1. \(x>4\)
  2. \(x<4\)
  3. \(x>\frac23\)
  4. \(x<\frac23\)
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正解A. \(x>4\)

ポイント:一次不等式

\(3x>12\) より、\(x>4\) です。
Q4 一次不等式 ★☆☆

\(-2x+3\leq9\) の解は?

  1. \(x\leq-3\)
  2. \(x\geq-3\)
  3. \(x\leq3\)
  4. \(x\geq3\)
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正解B. \(x\geq-3\)

ポイント:一次不等式

\(-2x\leq6\)。負の数で割ると不等号が逆になり、\(x\geq-3\) です。
Q5 一次不等式 ★☆☆

\(5-2x<1\) の解は?

  1. \(x<-2\)
  2. \(x>-2\)
  3. \(x<2\)
  4. \(x>2\)
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正解D. \(x>2\)

ポイント:一次不等式

\(-2x<-4\) より、負の数で割って\(x>2\) です。
Q6 一次不等式 ★☆☆

\(2(x-1)\geq x+4\) の解は?

  1. \(x\geq6\)
  2. \(x\leq6\)
  3. \(x\geq2\)
  4. \(x\leq2\)
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正解A. \(x\geq6\)

ポイント:一次不等式

\(2x-2\geq x+4\) より、\(x\geq6\) です。
Q7 一次不等式 ★☆☆

\(\dfrac{x-1}{3}>2\) の解は?

  1. \(x>5\)
  2. \(x>7\)
  3. \(x<5\)
  4. \(x<7\)
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正解B. \(x>7\)

ポイント:一次不等式

\(x-1>6\) より、\(x>7\) です。
Q8 一次不等式 ★★☆

\(2x+1<5x-8\) の解は?

  1. \(x<3\)
  2. \(x>3\)
  3. \(x<-3\)
  4. \(x>-3\)
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正解B. \(x>3\)

ポイント:一次不等式

\(9<3x\) より、\(x>3\) です。
Q9 三項の平方 ★☆☆

\((a+b+c)^2\) を展開すると?

  1. \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
  2. \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
  3. \(a^2+b^2+c^2+2abc\)
  4. \(a^2+b^2+c^2\)
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正解A. \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

ポイント:三項の平方

3つの平方に、2数の積を2倍した3項を加えます。
Q10 三項の平方 ★★☆

\((x+y-2)^2\) を展開すると?

  1. \(x^2+y^2+4+2xy-4x-4y\)
  2. \(x^2+y^2+4+2xy-2x-2y\)
  3. \(x^2+y^2-4+2xy\)
  4. \(x^2+y^2+4-2xy-4x+4y\)
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正解A. \(x^2+y^2+4+2xy-4x-4y\)

ポイント:三項の平方

\(a=x,b=y,c=-2\) として三項の平方公式を使います。
Q11 不等式の整数解 ★★☆

\(-2<\dfrac{x+1}{3}\leq2\) を満たす整数 \(x\) は何個ある?

  1. 9個
  2. 10個
  3. 11個
  4. 12個
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正解D. 12個

ポイント:不等式の整数解

\(-6<x+1\leq6\) より \(-7<x\leq5\)。整数は \(-6\) から5までの12個です。
Q12 乗法公式 ★☆☆

\((x+3)(x+5)\) を展開すると?

  1. \(x^2+8x+15\)
  2. \(x^2+15x+8\)
  3. \(x^2+2x+15\)
  4. \(x^2+8x+8\)
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正解A. \(x^2+8x+15\)

ポイント:乗法公式

\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) より、\(x^2+8x+15\) です。
Q13 乗法公式の利用 ★☆☆

\(101^2\) を乗法公式で計算すると?

  1. \(10101\)
  2. \(10201\)
  3. \(10001\)
  4. \(10401\)
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正解B. \(10201\)

ポイント:乗法公式の利用

\((100+1)^2=10000+200+1=10201\) です。
Q14 二次式の因数分解 ★☆☆

\(x^2+7x+12\) を因数分解すると?

  1. \((x+2)(x+6)\)
  2. \((x+3)(x+4)\)
  3. \((x-3)(x-4)\)
  4. \((x+1)(x+12)\)
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正解B. \((x+3)(x+4)\)

ポイント:二次式の因数分解

和が7、積が12になる3と4を使い、\((x+3)(x+4)\) です。
Q15 二次式の因数分解 ★☆☆

\(x^2-5x-14\) を因数分解すると?

  1. \((x-7)(x+2)\)
  2. \((x-2)(x+7)\)
  3. \((x-7)(x-2)\)
  4. \((x+7)(x+2)\)
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正解A. \((x-7)(x+2)\)

ポイント:二次式の因数分解

和が\(-5\)、積が\(-14\)になる\(-7\)と2を使います。
Q16 共通因数 ★★☆

\(ax+ay+bx+by\) を因数分解すると?

  1. \((a+b)(x+y)\)
  2. \((a+x)(b+y)\)
  3. \((a-b)(x-y)\)
  4. \(ab(x+y)\)
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正解A. \((a+b)(x+y)\)

ポイント:共通因数

前半と後半でまとめると、\(a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)\) です。
Q17 分数を含む一次不等式 ★★☆

\(\dfrac{x-2}{3}-\dfrac{x+1}{2}>1\) の解は?

  1. \(x<-13\)
  2. \(x>-13\)
  3. \(x<-7\)
  4. \(x>7\)
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正解A. \(x<-13\)

ポイント:分数を含む一次不等式

両辺を6倍して \(2x-4-3x-3>6\)。よって \(-x>13\) から \(x<-13\) です。
Q18 分母の有理化 ★☆☆

\(\dfrac{6}{\sqrt3}\) を有理化すると?

  1. \(2\sqrt3\)
  2. \(3\sqrt2\)
  3. \(6\sqrt3\)
  4. \(\sqrt3\)
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正解A. \(2\sqrt3\)

ポイント:分母の有理化

分子・分母に\(\sqrt3\)を掛けると、\(6\sqrt3/3=2\sqrt3\) です。
Q19 分母の有理化 ★★☆

\(\dfrac{3}{\sqrt5-1}\) を有理化すると?

  1. \(\dfrac{3(\sqrt5+1)}4\)
  2. \(\dfrac{3(\sqrt5-1)}4\)
  3. \(3\sqrt5+3\)
  4. \(\dfrac{\sqrt5+1}3\)
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正解A. \(\dfrac{3(\sqrt5+1)}4\)

ポイント:分母の有理化

分子・分母に \(\sqrt5+1\) を掛けると、分母は \(5-1=4\) です。
Q20 分母の有理化 ★★☆

\(\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}\) を有理化すると?

  1. \(\sqrt3-\sqrt2\)
  2. \(\sqrt3+\sqrt2\)
  3. \dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{5}
  4. \dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{5}
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正解A. \(\sqrt3-\sqrt2\)

ポイント:分母の有理化

共役な \(\sqrt3-\sqrt2\) を掛けると、分母は \(3-2=1\) です。
Q21 分母の有理化 ★★★

\(\dfrac{1}{2+\sqrt3}\) を有理化すると?

  1. \(2+\sqrt3\)
  2. \(2-\sqrt3\)
  3. \(\sqrt3-2\)
  4. \(1-\sqrt3\)
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正解B. \(2-\sqrt3\)

ポイント:分母の有理化

共役な\(2-\sqrt3\)を掛けると、分母は\(4-3=1\)です。
Q22 和と差の積 ★☆☆

\((3x+2)(3x-2)\) を展開すると?

  1. \(9x^2-4\)
  2. \(9x^2+4\)
  3. \(6x^2-4\)
  4. \(9x^2-12x+4\)
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正解A. \(9x^2-4\)

ポイント:和と差の積

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) より、\(9x^2-4\) です。
Q23 完全平方 ★★☆

\(9x^2+12x+4\) を因数分解すると?

  1. \((3x+2)^2\)
  2. \((9x+2)(x+2)\)
  3. \((3x-2)^2\)
  4. \((9x+4)(x+1)\)
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正解A. \((3x+2)^2\)

ポイント:完全平方

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) の形なので、\((3x+2)^2\) です。
Q24 対称式 ★★☆

\(a+b=5,\ ab=6\) のとき、\(a^2+b^2\) は?

  1. \(13\)
  2. \(19\)
  3. \(25\)
  4. \(31\)
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正解A. \(13\)

ポイント:対称式

\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13\) です。
Q25 対称式 ★★☆

\(x-y=4,\ xy=3\) のとき、\(x^2+y^2\) は?

  1. \(10\)
  2. \(16\)
  3. \(22\)
  4. \(28\)
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正解C. \(22\)

ポイント:対称式

\((x-y)^2=x^2+y^2-2xy\) より、\(x^2+y^2=16+6=22\) です。
Q26 平方の公式 ★☆☆

\((2x-3)^2\) を展開すると?

  1. \(4x^2-9\)
  2. \(4x^2-12x+9\)
  3. \(2x^2-12x+9\)
  4. \(4x^2-6x+9\)
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正解B. \(4x^2-12x+9\)

ポイント:平方の公式

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) を使うと、\(4x^2-12x+9\) です。
Q27 平方の差 ★☆☆

\(4x^2-25\) を因数分解すると?

  1. \((4x-5)(x+5)\)
  2. \((2x-5)^2\)
  3. \((2x-5)(2x+5)\)
  4. \((4x-25)(x+1)\)
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正解C. \((2x-5)(2x+5)\)

ポイント:平方の差

平方の差 \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) を使います。
Q28 平方の差の利用 ★☆☆

\(98\times102\) を乗法公式で計算すると?

  1. \(9996\)
  2. \(10004\)
  3. \(9896\)
  4. \(9998\)
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正解A. \(9996\)

ポイント:平方の差の利用

\((100-2)(100+2)=100^2-2^2=9996\) です。
Q29 平方の差の利用 ★☆☆

\(52^2-48^2\) は?

  1. \(200\)
  2. \(400\)
  3. \(800\)
  4. \(1000\)
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正解B. \(400\)

ポイント:平方の差の利用

平方の差より、\((52+48)(52-48)=100\cdot4=400\) です。
Q30 平方根の大小 ★★☆

\(2<\sqrt n<3\) を満たす自然数 \(n\) はいくつある?

  1. 3個
  2. 4個
  3. 5個
  4. 6個
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正解B. 4個

ポイント:平方根の大小

\(4<n<9\) より、\(n=5,6,7,8\) の4個です。
Q31 式の値 ★☆☆

\(x=3\) のとき、\(2x^2-5x+1\) の値は?

  1. \(-2\)
  2. \(4\)
  3. \(10\)
  4. \(16\)
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正解B. \(4\)

ポイント:式の値

\(2\cdot9-15+1=4\) です。
Q32 式の値 ★★☆

\(a=\sqrt2+1\) のとき、\(a^2-2a\) は?

  1. \(-1\)
  2. \(0\)
  3. \(1\)
  4. \(2\)
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正解C. \(1\)

ポイント:式の値

\(a^2-2a=(a-1)^2-1=(\sqrt2)^2-1=1\) です。
Q33 整式の加法・減法 ★☆☆

\((3x^2-2x+1)-(x^2+4x-3)\) は?

  1. \(2x^2-6x+4\)
  2. \(2x^2+2x-2\)
  3. \(4x^2+2x-2\)
  4. \(2x^2-6x-2\)
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正解A. \(2x^2-6x+4\)

ポイント:整式の加法・減法

後ろのかっこを外すときに各項の符号を変え、同類項をまとめます。
Q34 整式の次数 ★☆☆

整式 \(3x^3-2x^2+5x-7\) の次数は?

  1. 1次
  2. 2次
  3. 3次
  4. 7次
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正解C. 3次

ポイント:整式の次数

最も次数の高い項は \(3x^3\) なので、3次式です。
Q35 文字係数の不等式 ★★☆

\(a>0\) のとき、\(ax<3a\) の解は?

  1. \(x<3\)
  2. \(x>3\)
  3. \(x<-3\)
  4. \(x>0\)
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正解A. \(x<3\)

ポイント:文字係数の不等式

正の数 \(a\) で割っても不等号の向きは変わらないので、\(x<3\) です。
Q36 有理数と無理数 ★☆☆

次のうち無理数は?

  1. \(\sqrt9\)
  2. \(0.25\)
  3. \(\sqrt7\)
  4. \(-\frac23\)
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正解C. \(\sqrt7\)

ポイント:有理数と無理数

\(\sqrt7\) は整数の比で表せないため無理数です。
Q37 根号と乗法公式 ★☆☆

\((\sqrt5+2)(\sqrt5-2)\) は?

  1. \(1\)
  2. \(3\)
  3. \(5\)
  4. \(9\)
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正解A. \(1\)

ポイント:根号と乗法公式

和と差の積より、\(5-4=1\) です。
Q38 根号の乗法 ★☆☆

\(\sqrt3\times\sqrt{12}\) は?

  1. \(6\)
  2. \(\sqrt{15}\)
  3. \(2\sqrt3\)
  4. \(12\sqrt3\)
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正解A. \(6\)

ポイント:根号の乗法

\(\sqrt3\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\) です。
Q39 根号の加法 ★☆☆

\(3\sqrt2+5\sqrt2\) は?

  1. \(8\sqrt2\)
  2. \(8\sqrt4\)
  3. \(15\sqrt2\)
  4. \(8\)
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正解A. \(8\sqrt2\)

ポイント:根号の加法

同じ根号の係数を足して、\((3+5)\sqrt2=8\sqrt2\) です。
Q40 根号の加法・減法 ★★☆

\(\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}\) は?

  1. \(0\)
  2. \(2\sqrt3\)
  3. \(4\sqrt3\)
  4. \(10\sqrt3\)
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正解A. \(0\)

ポイント:根号の加法・減法

\(2\sqrt3+3\sqrt3-5\sqrt3=0\) です。
Q41 根号の展開 ★★☆

\((1+\sqrt3)^2\) は?

  1. \(4+2\sqrt3\)
  2. \(4+\sqrt3\)
  3. \(2+2\sqrt3\)
  4. \(4\)
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正解A. \(4+2\sqrt3\)

ポイント:根号の展開

\(1+2\sqrt3+3=4+2\sqrt3\) です。
Q42 根号の減法 ★★☆

\(\sqrt{18}-\sqrt8\) は?

  1. \(\sqrt{10}\)
  2. \(\sqrt2\)
  3. \(5\sqrt2\)
  4. \(2\sqrt{10}\)
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正解B. \(\sqrt2\)

ポイント:根号の減法

\(3\sqrt2-2\sqrt2=\sqrt2\) です。
Q43 根号の簡単化 ★☆☆

\(\sqrt{50}\) を簡単にすると?

  1. \(5\sqrt2\)
  2. \(2\sqrt5\)
  3. \(10\sqrt5\)
  4. \(25\sqrt2\)
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正解A. \(5\sqrt2\)

ポイント:根号の簡単化

\(50=25\cdot2\) なので、\(\sqrt{50}=5\sqrt2\) です。
Q44 絶対値 ★☆☆

\(|-7|\) は?

  1. \(-7\)
  2. \(0\)
  3. \(7\)
  4. \(14\)
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正解C. \(7\)

ポイント:絶対値

絶対値は0からの距離なので7です。
Q45 絶対値の場合分け ★☆☆

\(x<0\) のとき、\(|x|\) は?

  1. \(x\)
  2. \(-x\)
  3. \(0\)
  4. \(x^2\)
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正解B. \(-x\)

ポイント:絶対値の場合分け

負の数の絶対値は符号を反対にするので、\(|x|=-x\) です。
Q46 絶対値の場合分け ★★☆

\(|x-3|\) を絶対値記号を使わずに表すと?

  1. \(x\geq3\)で\(x-3\)、\(x<3\)で\(3-x\)
  2. 常に\(x-3\)
  3. \(x>0\)で\(x-3\)、\(x\leq0\)で\(3-x\)
  4. 常に\(3-x\)
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正解A. \(x\geq3\)で\(x-3\)、\(x<3\)で\(3-x\)

ポイント:絶対値の場合分け

絶対値の中身 \(x-3\) の符号が変わる \(x=3\) で場合分けします。
Q47 絶対値不等式 ★☆☆

\(|x|<3\) の解は?

  1. \(x<-3,\ 3<x\)
  2. \(-3<x<3\)
  3. \(-3\leq x\leq3\)
  4. \(x>3\)
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正解B. \(-3<x<3\)

ポイント:絶対値不等式

0からの距離が3未満なので、\(-3<x<3\) です。
Q48 絶対値不等式 ★★☆

\(|x+1|\leq2\) の解は?

  1. \(-3\leq x\leq1\)
  2. \(-1\leq x\leq2\)
  3. \(x\leq-3,\ 1\leq x\)
  4. \(-2\leq x\leq2\)
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正解A. \(-3\leq x\leq1\)

ポイント:絶対値不等式

\(-2\leq x+1\leq2\) から、\(-3\leq x\leq1\) です。
Q49 絶対値不等式 ★★☆

\(|2x-1|>5\) の解は?

  1. \(-2<x<3\)
  2. \(x<-2,\ 3<x\)
  3. \(x\leq-2,\ 3\leq x\)
  4. \(x<2,\ 3<x\)
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正解B. \(x<-2,\ 3<x\)

ポイント:絶対値不等式

\(2x-1>5\) または \(2x-1<-5\) より、\(x>3\) または \(x<-2\) です。
Q50 絶対値方程式 ★☆☆

\(|x|=4\) の解は?

  1. \(x=4\)
  2. \(x=-4\)
  3. \(x=\pm4\)
  4. 解なし
答え・解説を見る

正解C. \(x=\pm4\)

ポイント:絶対値方程式

0からの距離が4となる数は4と\(-4\)です。
Q51 絶対値方程式 ★☆☆

\(|x-2|=3\) の解は?

  1. \(x=-1,5\)
  2. \(x=1,5\)
  3. \(x=-5,1\)
  4. \(x=2,3\)
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正解A. \(x=-1,5\)

ポイント:絶対値方程式

\(x-2=3\) または \(x-2=-3\) より、\(x=5,-1\) です。
Q52 置き換え ★★☆

\(A=x+2\) とおくと、\(x^2+4x+3\) は?

  1. \(A^2-1\)
  2. \(A^2+1\)
  3. \(A^2-4\)
  4. \(A^2+3\)
答え・解説を見る

正解A. \(A^2-1\)

ポイント:置き換え

\(x^2+4x+3=(x+2)^2-1=A^2-1\) です。
Q53 置き換え ★★★

\(x+\dfrac1x=3\) のとき、\(x^2+\dfrac1{x^2}\) は?

  1. \(5\)
  2. \(7\)
  3. \(9\)
  4. \(11\)
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正解B. \(7\)

ポイント:置き換え

両辺を2乗して、求める値に2を足したものが9なので、答えは7です。
Q54 置き換えによる因数分解 ★★☆

\(x^4+5x^2+4\) を因数分解すると?

  1. \((x^2+1)(x^2+4)\)
  2. \((x^2-1)(x^2-4)\)
  3. \((x+1)(x+4)\)
  4. \((x^2+2)^2\)
答え・解説を見る

正解A. \((x^2+1)(x^2+4)\)

ポイント:置き換えによる因数分解

\(X=x^2\) とおくと \(X^2+5X+4=(X+1)(X+4)\) です。
Q55 置き換えによる因数分解 ★★☆

\(x^4-13x^2+36\) を因数分解すると?

  1. \((x^2-4)(x^2-9)\)
  2. \((x^2+4)(x^2+9)\)
  3. \((x^2-6)^2\)
  4. \((x-4)(x-9)\)
答え・解説を見る

正解A. \((x^2-4)(x^2-9)\)

ポイント:置き換えによる因数分解

\(X=x^2\) とおくと \(X^2-13X+36=(X-4)(X-9)\) です。
Q56 置き換えによる展開 ★★☆

\((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\) を展開するための組合せとして最も便利なのは?

  1. \((x+1)(x+4)\) と \((x+2)(x+3)\)
  2. \((x+1)(x+2)\) と \((x+3)(x+4)\)
  3. \((x+1)(x+3)\) と \((x+2)(x+4)\)
  4. どれも同じ
答え・解説を見る

正解A. \((x+1)(x+4)\) と \((x+2)(x+3)\)

ポイント:置き換えによる展開

それぞれ \(x^2+5x+4\)、\(x^2+5x+6\) となり、\(X=x^2+5x\) と置けます。
Q57 置き換えによる展開 ★★★

\((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\) を展開すると?

  1. \(x^4+10x^3+35x^2+50x+24\)
  2. \(x^4+10x^3+30x^2+40x+24\)
  3. \(x^4+5x^3+10x^2+10x+24\)
  4. \(x^4+10x^3+35x^2+24\)
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正解A. \(x^4+10x^3+35x^2+50x+24\)

ポイント:置き換えによる展開

\(X=x^2+5x\) とおくと、\((X+4)(X+6)=X^2+10X+24\) です。
Q58 連立不等式 ★★☆

\(1<2x+3\leq7\) の解は?

  1. \(-1<x\leq2\)
  2. \(-2<x\leq5\)
  3. \(1<x\leq7\)
  4. \(-1\leq x<2\)
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正解A. \(-1<x\leq2\)

ポイント:連立不等式

各辺から3を引き2で割ると、\(-1<x\leq2\) です。
Q59 連立不等式 ★★☆

\(x-2>0\) かつ \(2x+1\leq7\) を満たす範囲は?

  1. \(x>2\)
  2. \(x\leq3\)
  3. \(2<x\leq3\)
  4. \(x\leq2\)
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正解C. \(2<x\leq3\)

ポイント:連立不等式

それぞれ\(x>2\)、\(x\leq3\)なので、共通範囲は\(2<x\leq3\)です。
Q60 項と係数 ★☆☆

整式 \(2x^3-5x+4\) における \(x\) の係数は?

  1. \(-5\)
  2. \(2\)
  3. \(4\)
  4. \(3\)
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正解A. \(-5\)

ポイント:項と係数

\(x\) の項は \(-5x\) なので、係数は \(-5\) です。