数学瞬発トレーニング 数学Ⅰ・図形と計量

QUESTION LIBRARY

図形と計量の問題一覧

問題をまとめて確認し、答えと解説を開きながら復習できます。

この範囲から10問
科目
数学Ⅰ 数学A
単元
すべて 数と式 60 集合と命題 25 二次関数 100 図形と計量 40 データの分析 30
分野
すべて 40 正弦の定義 2 余弦の定義 2 正接の定義 2 三角比の関係 1 三角比の相互関係 4 特殊角の三角比 6 鈍角の三角比 2 補角の三角比 3 三角比による測量 4 正弦定理 5 余弦定理 4 三角形の角の判定 1 三角形の面積 4
40問
Q1 三角形の角の判定 ★★☆

3辺の長さが3、4、6の三角形で、最大の角は鋭角・直角・鈍角のどれ？

  1. 鋭角
  2. 直角
  3. 鈍角
  4. 三角形を作れない
答え・解説を見る

正解C. 鈍角

ポイント：三角形の角の判定

最大辺6について \(6^2>3^2+4^2\) なので、最大の角は鈍角です。
Q2 三角形の面積 ★☆☆

2辺 \(b,c\) とその間の角 \(A\) が分かるとき、三角形の面積 \(S\) は？

  1. \(S=bc\sin A\)
  2. \(S=\dfrac12bc\sin A\)
  3. \(S=\dfrac12bc\cos A\)
  4. \(S=b+c+\sin A\)
答え・解説を見る

正解B. \(S=\dfrac12bc\sin A\)

ポイント：三角形の面積

高さが \(c\sin A\) になるので、\(S=\frac12bc\sin A\) です。
2辺b、cとその間の角A、および高さを示した三角形
2辺b、cとその間の角A、および高さを示した三角形
Q3 三角形の面積 ★☆☆

三角形ABCで \(b=6,\ c=8,\ A=30^\circ\) のとき、面積は？

  1. 6
  2. 12
  3. 24
  4. \(24\sqrt3\)
答え・解説を見る

正解B. 12

ポイント：三角形の面積

\(S=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\sin30^\circ=12\) です。
Q4 三角形の面積 ★☆☆

2辺の長さが4、5、その間の角が \(60^\circ\) の三角形の面積は？

  1. \(5\sqrt3\)
  2. \(10\sqrt3\)
  3. 10
  4. 20
答え・解説を見る

正解A. \(5\sqrt3\)

ポイント：三角形の面積

\(S=\frac12\cdot4\cdot5\cdot\sin60^\circ=5\sqrt3\) です。
Q5 三角形の面積 ★★☆

2辺の長さが10、6、その間の角が \(150^\circ\) の三角形の面積は？

  1. 15
  2. 30
  3. \(15\sqrt3\)
  4. \(30\sqrt3\)
答え・解説を見る

正解A. 15

ポイント：三角形の面積

\(\sin150^\circ=1/2\) なので、\(S=\frac12\cdot10\cdot6\cdot\frac12=15\) です。
Q6 三角比による測量 ★☆☆

建物から10m離れた地点で屋上への仰角が \(45^\circ\) でした。目の高さを無視すると建物の高さは？

  1. 5m
  2. 10m
  3. \(10\sqrt2\)m
  4. 20m
答え・解説を見る

正解B. 10m

ポイント：三角比による測量

高さを \(h\) とすると \(\tan45^\circ=h/10=1\) より、\(h=10\)mです。
Q7 三角比による測量 ★☆☆

長さ5mのはしごを地面と \(30^\circ\) の角度で壁に立てかけました。壁に届く高さは？

  1. \(\dfrac52\)m
  2. \(\dfrac{5\sqrt2}{2}\)m
  3. \(\dfrac{5\sqrt3}{2}\)m
  4. 5m
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac52\)m

ポイント：三角比による測量

高さは斜辺5mの \(\sin30^\circ\) 倍なので、\(5/2\)mです。
Q8 三角比による測量 ★☆☆

水平面から \(30^\circ\) 上向きに長さ20mのロープを張りました。鉛直方向の高さは？

  1. 5m
  2. 10m
  3. \(10\sqrt3\)m
  4. 20m
答え・解説を見る

正解B. 10m

ポイント：三角比による測量

鉛直成分は \(20\sin30^\circ=10\)mです。
Q9 三角比による測量 ★★☆

太陽の高度が \(60^\circ\) のとき、影の長さが \(4\sqrt3\)mでした。物体の高さは？

  1. 4m
  2. \(4\sqrt3\)m
  3. 8m
  4. 12m
答え・解説を見る

正解D. 12m

ポイント：三角比による測量

高さを \(h\) とすると \(h=4\sqrt3\tan60^\circ=4\sqrt3\cdot\sqrt3=12\)mです。
Q10 三角比の相互関係 ★☆☆

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta\) の値は？

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(\tan\theta\)
  4. \(2\)
答え・解説を見る

正解B. \(1\)

ポイント：三角比の相互関係

角度によらず \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) です。
Q11 三角比の相互関係 ★★☆

\(0^\circ<\theta<90^\circ\)、\(\sin\theta=\dfrac35\) のとき、\(\cos\theta\) は？

  1. \(\dfrac25\)
  2. \(\dfrac34\)
  3. \(\dfrac45\)
  4. \(\dfrac53\)
答え・解説を見る

正解C. \(\dfrac45\)

ポイント：三角比の相互関係

\(\cos^2\theta=1-9/25=16/25\)。鋭角なので \(\cos\theta=4/5\) です。
Q12 三角比の相互関係 ★★☆

\(90^\circ<\theta<180^\circ\)、\(\cos\theta=-\dfrac45\) のとき、\(\sin\theta\) は？

  1. \(-\dfrac35\)
  2. \(\dfrac35\)
  3. \(-\dfrac45\)
  4. \(\dfrac45\)
答え・解説を見る

正解B. \(\dfrac35\)

ポイント：三角比の相互関係

\(\sin^2\theta=1-16/25=9/25\)。0度から180度では正弦は0以上なので \(3/5\) です。
Q13 三角比の相互関係 ★★☆

\(1+\tan^2\theta\) と等しいものは？

  1. \(\dfrac1{\sin^2\theta}\)
  2. \(\dfrac1{\cos^2\theta}\)
  3. \(\sin^2\theta\)
  4. \(\cos^2\theta\)
答え・解説を見る

正解B. \(\dfrac1{\cos^2\theta}\)

ポイント：三角比の相互関係

\(1+\tan^2\theta=1/\cos^2\theta\) です。
Q14 三角比の関係 ★☆☆

\(\tan\theta\) を \(\sin\theta,\cos\theta\) で表すと？

  1. \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
  2. \(\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\)
  3. \(\sin\theta\cos\theta\)
  4. \(\sin\theta+\cos\theta\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

ポイント：三角比の関係

\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) です。
Q15 余弦の定義 ★☆☆

直角三角形で、\(\cos\theta\) を表す比は？

  1. 対辺÷斜辺
  2. 隣辺÷斜辺
  3. 対辺÷隣辺
  4. 斜辺÷隣辺
答え・解説を見る

正解B. 隣辺÷斜辺

ポイント：余弦の定義

\(\cos\theta=\dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}\) です。
Q16 余弦の定義 ★☆☆

斜辺が5、角 \(\theta\) の隣辺が4の直角三角形で、\(\cos\theta\) は？

  1. \(\dfrac35\)
  2. \(\dfrac45\)
  3. \(\dfrac34\)
  4. \(\dfrac54\)
答え・解説を見る

正解B. \(\dfrac45\)

ポイント：余弦の定義

余弦は隣辺÷斜辺なので、\(\cos\theta=4/5\) です。
Q17 余弦定理 ★☆☆

三角形ABCにおける余弦定理として正しいものは？

  1. \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
  2. \(a^2=b^2+c^2+2bc\cos A\)
  3. \(a=b\cos A+c\sin A\)
  4. \(a/\sin A=2R\)
答え・解説を見る

正解A. \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

ポイント：余弦定理

辺 \(a\) とその対角 \(A\) について、\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\) です。
Q18 余弦定理 ★☆☆

三角形ABCで \(b=3,\ c=4,\ A=90^\circ\) のとき、\(a\) は？

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 7
答え・解説を見る

正解C. 5

ポイント：余弦定理

\(\cos90^\circ=0\) なので、\(a^2=3^2+4^2=25\) より \(a=5\) です。
Q19 余弦定理 ★★☆

三角形ABCで \(b=5,\ c=7,\ A=60^\circ\) のとき、\(a\) は？

  1. \(\sqrt{39}\)
  2. \(\sqrt{49}\)
  3. \(\sqrt{74}\)
  4. \(6\sqrt2\)
答え・解説を見る

正解A. \(\sqrt{39}\)

ポイント：余弦定理

\(a^2=25+49-2\cdot5\cdot7\cdot(1/2)=39\) より、\(a=\sqrt{39}\) です。
Q20 余弦定理 ★★☆

三角形ABCで \(b=5,\ c=5,\ a=6\) のとき、\(\cos A\) は？

  1. \(\dfrac7{25}\)
  2. \(\dfrac{18}{25}\)
  3. \(\dfrac35\)
  4. \(\dfrac45\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac7{25}\)

ポイント：余弦定理

\(\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(25+25-36)/50=7/25\) です。
Q21 正弦の定義 ★☆☆

直角三角形で、\(\sin\theta\) を表す比は？

  1. 対辺÷斜辺
  2. 隣辺÷斜辺
  3. 対辺÷隣辺
  4. 斜辺÷対辺
答え・解説を見る

正解A. 対辺÷斜辺

ポイント：正弦の定義

\(\sin\theta=\dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}\) です。
Q22 正弦の定義 ★☆☆

斜辺が5、角 \(\theta\) の対辺が3の直角三角形で、\(\sin\theta\) は？

  1. \(\dfrac35\)
  2. \(\dfrac45\)
  3. \(\dfrac34\)
  4. \(\dfrac53\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac35\)

ポイント：正弦の定義

正弦は対辺÷斜辺なので、\(\sin\theta=3/5\) です。
辺の長さが3、4、5の直角三角形と角θ
辺の長さが3、4、5の直角三角形と角θ
Q23 正弦定理 ★☆☆

三角形ABCの外接円の半径を \(R\) とするとき、正弦定理は？

  1. \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)
  2. \(a\sin A=b\sin B=c\sin C=R\)
  3. \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
  4. \(S=\dfrac12bc\sin A\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)

ポイント：正弦定理

辺とその対角の正弦の比はすべて外接円の直径 \(2R\) に等しくなります。
外接円に内接する三角形ABCと辺a、角A、半径R
外接円に内接する三角形ABCと辺a、角A、半径R
Q24 正弦定理 ★☆☆

三角形ABCで \(A=30^\circ,\ a=5\) のとき、外接円の半径 \(R\) は？

  1. \(\dfrac52\)
  2. 5
  3. 10
  4. \(5\sqrt3\)
答え・解説を見る

正解B. 5

ポイント：正弦定理

\(a/\sin A=2R\) より、\(5/(1/2)=10=2R\) なので \(R=5\) です。
Q25 正弦定理 ★☆☆

三角形ABCで \(a=6,\ A=30^\circ\) のとき、外接円の直径は？

  1. 3
  2. 6
  3. 12
  4. \(6\sqrt3\)
答え・解説を見る

正解C. 12

ポイント：正弦定理

外接円の直径は \(2R=a/\sin A=6/(1/2)=12\) です。
Q26 正弦定理 ★★☆

三角形ABCで \(A=45^\circ,\ B=60^\circ,\ a=\sqrt2\) のとき、\(b\) は？

  1. \(1\)
  2. \(\sqrt2\)
  3. \(\sqrt3\)
  4. \(2\)
答え・解説を見る

正解C. \(\sqrt3\)

ポイント：正弦定理

\(a/\sin A=\sqrt2/(\sqrt2/2)=2\)。よって \(b=2\sin60^\circ=\sqrt3\) です。
Q27 正弦定理 ★★☆

三角形ABCで \(A=30^\circ,\ B=45^\circ,\ a=8\) のとき、\(b\) は？

  1. \(4\sqrt2\)
  2. \(8\)
  3. \(8\sqrt2\)
  4. \(16\)
答え・解説を見る

正解C. \(8\sqrt2\)

ポイント：正弦定理

\(b/\sin45^\circ=8/\sin30^\circ=16\) より、\(b=16\cdot\sqrt2/2=8\sqrt2\) です。
Q28 正接の定義 ★☆☆

直角三角形で、\(\tan\theta\) を表す比は？

  1. 対辺÷斜辺
  2. 隣辺÷斜辺
  3. 対辺÷隣辺
  4. 隣辺÷対辺
答え・解説を見る

正解C. 対辺÷隣辺

ポイント：正接の定義

\(\tan\theta=\dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}\) です。
Q29 正接の定義 ★☆☆

角 \(\theta\) の対辺が3、隣辺が4の直角三角形で、\(\tan\theta\) は？

  1. \(\dfrac35\)
  2. \(\dfrac45\)
  3. \(\dfrac34\)
  4. \(\dfrac43\)
答え・解説を見る

正解C. \(\dfrac34\)

ポイント：正接の定義

正接は対辺÷隣辺なので、\(\tan\theta=3/4\) です。
Q30 特殊角の三角比 ★☆☆

\(\sin30^\circ\) は？

  1. \(\dfrac12\)
  2. \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)
  3. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
  4. \(1\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac12\)

ポイント：特殊角の三角比

30度の正弦は \(1/2\) です。
Q31 特殊角の三角比 ★☆☆

\(\cos60^\circ\) は？

  1. \(\dfrac12\)
  2. \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)
  3. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
  4. \(1\)
答え・解説を見る

正解A. \(\dfrac12\)

ポイント：特殊角の三角比

60度の余弦は \(1/2\) です。
Q32 特殊角の三角比 ★☆☆

\(\tan45^\circ\) は？

  1. \(0\)
  2. \(\dfrac1{\sqrt3}\)
  3. \(1\)
  4. \(\sqrt3\)
答え・解説を見る

正解C. \(1\)

ポイント：特殊角の三角比

45度の直角二等辺三角形では対辺と隣辺が等しいので1です。
Q33 特殊角の三角比 ★☆☆

\(\sin45^\circ\) は？

  1. \(\dfrac12\)
  2. \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)
  3. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
  4. \(1\)
答え・解説を見る

正解B. \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)

ポイント：特殊角の三角比

45度の正弦は \(\sqrt2/2\) です。
Q34 特殊角の三角比 ★☆☆

\(\cos30^\circ\) は？

  1. \(\dfrac12\)
  2. \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)
  3. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
  4. \(1\)
答え・解説を見る

正解C. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)

ポイント：特殊角の三角比

30度の余弦は \(\sqrt3/2\) です。
Q35 特殊角の三角比 ★☆☆

\(\tan60^\circ\) は？

  1. \(\dfrac1{\sqrt3}\)
  2. \(1\)
  3. \(\sqrt2\)
  4. \(\sqrt3\)
答え・解説を見る

正解D. \(\sqrt3\)

ポイント：特殊角の三角比

60度の正接は \(\sqrt3\) です。
Q36 補角の三角比 ★☆☆

\(\sin(180^\circ-\theta)\) と等しいものは？

  1. \(-\sin\theta\)
  2. \(\sin\theta\)
  3. \(-\cos\theta\)
  4. \(\cos\theta\)
答え・解説を見る

正解B. \(\sin\theta\)

ポイント：補角の三角比

補角では正弦の値は変わりません。
Q37 補角の三角比 ★☆☆

\(\cos(180^\circ-\theta)\) と等しいものは？

  1. \(-\cos\theta\)
  2. \(\cos\theta\)
  3. \(-\sin\theta\)
  4. \(\sin\theta\)
答え・解説を見る

正解A. \(-\cos\theta\)

ポイント：補角の三角比

補角では余弦の符号が反対になります。
Q38 補角の三角比 ★☆☆

\(\tan(180^\circ-\theta)\) と等しいものは？

  1. \(-\tan\theta\)
  2. \(\tan\theta\)
  3. \(1/\tan\theta\)
  4. \(-1/\tan\theta\)
答え・解説を見る

正解A. \(-\tan\theta\)

ポイント：補角の三角比

補角では正接の符号が反対になります。
Q39 鈍角の三角比 ★★☆

\(\sin120^\circ\) は？

  1. \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
  2. \(-\dfrac12\)
  3. \(\dfrac12\)
  4. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
答え・解説を見る

正解D. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)

ポイント：鈍角の三角比

\(\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin60^\circ=\sqrt3/2\) です。
Q40 鈍角の三角比 ★★☆

\(\cos150^\circ\) は？

  1. \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
  2. \(-\dfrac12\)
  3. \(\dfrac12\)
  4. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
答え・解説を見る

正解A. \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\)

ポイント：鈍角の三角比

\(\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ=-\sqrt3/2\) です。